arithmétique ! besoin d'aide !

on considère dans Z² l'équation :
(E) : 16x-5y=2010

1) Démontrer que si (x,y) est solution de (E) , donc 5/x puis résoudre l'équation (E)
2) déterminer le nombre de solutions (x,y) tel que x pgcd y=5
3) on considère dans Z² l'équation
(F) : 16x^6 - 5y^6=2010
4) démontrer que quel que soit a £ Z a^6 ≡ 0 (7) ou a^6 ≡ 1 (7)
5) démontrer que si (x,y) est solution de (F) donc ( x pgcd 7=1 ou y pgcd 7=1)
6) Déduire que si (x,y) est solution de (F) 16x^6 - 5y^6 ≡ 2 (7) ou
16x^6 - 5y^6 ≡ 4 (7)
7) Résoudre dans (F)
merci de poster les réponses surtout des exercice n° 2, 5 et 6

salam

1) ( E ) : 16x = 5y +2010= 5(y+402)

pgcd(5,16) = 1 GAUSS ====> 5 divise x ===> x = 5k , kE Z

===> y+402 = 16k ===> y = 16k -402

Ensuite : on vérifie les solutions
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2) pgcd(x,y) = 5 signifie pgcd(5k , 16k-402) = 5

====> 16k -402 multiple de 5 ====> k-2 multiple de 5

donc k = 5k' +2 , avec k'EZ.

===> x = 5(5k'+2)= 25k'+10 et y = 16(5k'+2)-402= 80k'-370
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3) 4)
FERMAT : 7 est premier

====> pour tout aEZ : a^7 = a ( mod 7)
SI a = 0 (7) ====> a^6 = 0 (7)
SI pgcd(a,7) = 1 =====> a^6 = 1 (7)
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5) ( F ) devient (mod7)

2.x^6 + 2.y^6 = 1 (mod 7)
1er cas
x^6 =0 (7) et y^6 = 0 (7 ) ========> 0 = 1 (7) impossible
2e cas
x^6 = 1 (7) et y^6 = 1 (7) =======> 2+2 = 1 (7) impossible

Donc :
x^6 = 0 (7) et y^6 = 1 (7) ====> pgcd(y,7 ) = 1
ou
x^6 = 1 (7) et y^6 = 0 (7) ====> pgcd(x,7) = 1

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6) il y a une erreur

car on aurait 2010 = 2 (7) ou 2010 = 4 (7) ?????????
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7) résolutio de ( F)

1er cas
x^6 = 0 (7) et y^6 = 1 (7)

X=x^6 et Y=y^6 sont solutions de ( E )

5k = 0(7) ====> k = 7 k"
16k-402 = 1 (7) ====> 2k - 3 = 1(7) =====>14 k" -3 =1 (7) impossible

2e cas

5k = 1 (7) ====> 15k= 3 (7) ===> k = 3 (7) ===> k = 7k" +3
16k-402 = 0 (7) ==> 2k-3 = 0 (7) ====> 14k" +3 = 0 (7) impossible

conclusion (F) n'a pas de solution

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Bonjour Mr Houssa,
Je ne pense pas qu'il yai une erreur dans la question 6. Je suis arrivé au résultat avec une etude cas par cas et effectivement cest cette question qui nous permettra de dire que l'equation (F) n'a pas de solution vu la contradiction que vous avez cité.
Sauf erreur ...