rapport d'aires

exo:

ABCD carré de centre E.
(T) le cercle de diamètre [AB].
La tangente issue de C à ( T ) , autre que (CB) touche (T) en F.

trouver le rapport : k = (aire de BEF) / (aire de ABCD).

--------------------------------------------------------

Bonjour Mr Houssam, que représente le point "E"?
[Je pense que la droite (DE) tangente le cercle en E?]

Si oui, j'ai trouvé en utilisant Sin, les triangles semblables et égaux:
* Aprés quelques phrases, on aura La place de E et F sur -Pi/4 et 5Pi/4.
* M milieux de [OO'], et Cos(F) au milieu de [OB] avec [DE]=[CF].
* ...
* S(MBF)=(1/16)*S(ABCD). S(MTE)=[(V2-1)/4]*S(ABCD).
* S(MBF)+2S(MTE)=S(BEF)=[(4V2-3)]/16. Avec {T}=(EF) ta9ato3 (OO').
* k=(64V3+48)/39.
* Un petit dessin:


Merci, et je vous revois aprés un petit voyage.

houssa a écrit:

exo:
ABCD carré.
(T) le cercle de diamètre [AB].
La tangente issue de C à ( T ) , autre que (CB) touche (T) en F.
trouver le rapport : k = (aire de BEF) / (aire de ABCD).
--------------------------------------------------------

Je t'invite à refaire l'exercice.
Cela est bizarre, je pense.

Excusez moi j'ai oublié :

E le centre du carré.

...........................................................

LA REPONSE est 1/10.

si vous voulez les détails je le ferais.

....................

houssa a écrit:

exo:
ABCD carré de centre E.
(T) le cercle de diamètre [AB].
La tangente issue de C à ( T ) , autre que (CB) touche (T) en F.
trouver le rapport : k = (aire de BEF) / (aire de ABCD).
--------------------------------------------------------

Je n'ai pas compri ce qui est en rouge.
Est-ce que cela veut dire que F=B.
Merci d'éclarer l'exercice tant.

F est le point de contact.

Voyons : de C tu mènes deux tangentes au cercle (T)

l'une est (CB) et l'autre (CF).

.

Je donne la solution que j'ai trouvé:
Soit a la mesure du côté du carré.
Soit O le milieu de [AB].
On a OB=(1/2)AB.
Donc OB=a/2.
On a F est un point de (T).
Donc OF=a/2.
On a OBC un triangle rectangle en B.
Donc OB²+BC²=OC².
Donc (a/2)²+a²=OC².
Donc OC²=(a²/4)+a².
Donc OC²=5a²/4.
Donc OC=(aV5)/2.
Et on a aussi OF²+FC²=OC².
Donc (a/2)²+FC²=5a²/4.
Donc a²/4+FC²=5a²/4.
Donc FC²=a².
Donc FC=a.
Il est évident que le quadrilatère OBCF est inscriptible car on a OBC=90° et OFC=90°.
Donc, selon le théorème de ptolémée OC*FB=OB*FC+OF*BC.
Donc FB*(aV5)/2=(a/2)*a+(a/2)*a.
Donc FB*(aV5)/2=a(a/2+a/2).
Donc FB*(V5)/2=a.
Donc FB=2a/V5.
Donc FB=2aV5/5.
On a aussi BE²=OB²+OE².
Donc BE²=(a/2)²+(a/2)².
Donc BE²=a²/4+a²/4.
Donc BE²=2a²/4.
Donc BE²=a²/2.
Donc BE=a/V2.
Donc BE=(aV2)/2.
Soit x la mesure de l'angle FBE.
Il est facile de trouver que OEB=OEA=45° et que OAE=45°.
Car E est le centre du carré.
On a OAE et BFE deux angles limitant le même arc [BE].
Donc BFE=45°. (angle)
On a OBF+FBE=45°. (angles)
Donc OBF+x=45°. (angle)
Donc OBF=45°-x. (angle)
On a OBF et AEF deux angles limitant le même arc [AF].
Donc AEF=45°-x. (angle)
On a FEB=FEA+OEB+OEA. (angles)
Donc FEB=45°-x+45°+45°. (angle)
Donc FEB=135°-x. (angle)
Dans le triangle FBE, selon la loi du sinus, on a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Il est très connu que .
Donc .==>(1)
D'autre part, On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Donc ou .==>(2)
Le premier cas:
et .
En sommant , il vient que .
Donc .
Donc .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Le second cas:
et .
En sommant , il vient que .
Donc .
Donc .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Sauf erreur.
J'attends ta confirmation houssa.

Il y a une faute à laquelle je n'ai pas fait attention hier:
D'après la figure, on a .
Donc .
Donc .
Comme, .
Donc, on évite le premier cas.
Et c'est le second cas qui est juste.
(k=1/10).

Soit O le centre du cercle, M l'orthogonale de F sur (OB), S le centre de [BD].

* O le centre de [AB] et OA=OE donc OE rayon dans le cercle, d'ou le cercle passant par E le centre de ABCD.
* Aprés quelques phrases, on aura La place de E et F sur -Pi/4 et 5Pi/4.
* EB²=OB²+OE² <=> EB²=1+1 <=> EB=V2 (1)
* Cos(F)=V2/2. Et Sin(F)=V2/2
* BF²=MF²+BM² <=> BF²=(V2/2)²+(V2/2)² <=> BF=1 (2)
* Puisque (T) tangent le cercle sur F donc: OF=OB
* OE=OB=r et puisque E le centre de ABCD donc OBSE est un carré.
* Cela veut dire que: (OS)_|_(EB). Et: (OS) bissectrice de EOB => FOB=45°.
* OBF est un triangle issoécle en O => OFB=(1/2)*(180°)-45°=67.5°.
* A' le centre du carré OBSE, On a: (angle)A'BF=180°-(90°+67.5°)=22.5°.
* BFE triangle issoécle en F parceque la place de F est -Pi/4 (BF=EF)
* (Angles) EBF=BEF=22.5°.
* De (1) et (2) : S(EBF)=(1/2)*(BF*FE*Sin(F))=(1/2)*Sin(135°)
* Donc: S(EBF)=(1/4)*Sin(135°)*a² Et: S(ABCD)=a²
* Cela nous raméne à: S(EBF)/S(ABCD)=(1/4)*Sin(135°)

Fez est ravi de vous voir et Merci.

salam

Un grand BRAVO pour les efforts et la patience.
-----------------------------------
je propose ceci: l'idée : utiliser beaucoup de triangles semblables

O = milieu de [AB] et AB = a.

H = le projeté orthog.de F sur [AB]

K = le point d'intersection [OE]et [BF]
----------------------------------------------

OBC et KOB sont deux triangles semblables ( comparer les angles)

OB = 1/2.BC ====> OK = 1/2.OB = a/4

aire(EKB) = 1/2.(base x hauteur) = 1/2.EK x OB = 1/2.(a/4).(a/2)=a²/16.

---------------------------------------

AFB et OBC semblables ====> AF/AB = OB/OC ====> AF = AB.OB/OC

--------------------------------------------------------------------

AFH et OBC semblables ===> AH/AF = OB/OC ===> AH = AF.OB/OC

---------------------------------------------

====> AH = AB.OB²/OC² = [a .(a²/4) ] / (5a²/4) = a/5

====> OH = a/2 - a/5 = 3a/10

aire (EKF) = 1/2 (EK x OH) = 1/2.(a/4).(3a/10) = 3a²/80

-------------------------

aire (BEF) = aire(EKB) + aire(EKF) = a²/16 + 3a²/80 = 8a²/80 = a²/10

aire carré = a²
-----------

rapport des aires = 1/10.

..........................................