Triangle rectangle:

ABC est un triangle et R le rayon de son cercle circonscrit.
Montrez que ABC est rectangle si et seulement si a²+b²+c²=8R².
Bonne chance.

Par symétrie des rôles, on peut choisir c comme étant la longueur de l'hypoténuse du triangle.
Montrons que si ABC est rectangle, alors a²+b²+c²=8R²
ABC étant rectangle, il vient d'après le théorème de Pythagore : a²+b²=c², ce qui implique a²+b²+c²=2c².
IL est donc suffisant de prouver que c²=4R². Or, puisque ABC est rectangle et c est la longueur de son hypoténuse, et R est le rayon de son cercle circonscrit, on a R=c/2, ce qui implique c²=4R².
Montrons que si a²+b²+c²=8R², alors ABC est rectangle.
Soit un triangle rectangle de (longueurs de) côtés x et y, et d'hypoténuse c. Ce triangle étant rectangle et d'hypoténuse c, son cercle circonscrit ne dépend que de cet hypoténuse. Ainsi, le rayon du cercle circonscrit à ce triangle est aussi égal à R. Ainsi, ce triangle est rectangle, d'hypoténuse c, et le rayon de son cercle circonscrit est égal à R : il vient alors d'après l'implication précédemment démontrée que x²+y²+c²=8R². Mais puisque on a comme hypothèse a²+b²+c²=8R², alors il vient : x²+y²=a²+b². Mais d'après Pythagore, on a x²+y²=c². Donc c²=a²+b². Le théorème inverse de Pythagore affirme finalement que ABC est rectangle d'hypoténuse c.

salam

une remarque pour la réciproque

1) pourquoi tu as choisi c comme hypothénuse?

il fallait dire : supposons c le plus grand côté de ABC.

2) qui t' assure que ABC possède un plus grand côté ??

3) pourquoi les triangles (a,b,c) et (x,y,c) ont le même R???

.......................................................................................

donc de la rigueur !!!

houssa a écrit:

salam

une remarque pour la réciproque

1) pourquoi tu as choisi c comme hypothénuse?

il fallait dire : supposons c le plus grand côté de ABC.

2) qui t' assure que ABC possède un plus grand côté ??

Ces deux questions ont une réponse, puisque les côtés du triangle jouent un rôle symétrique,on en choisis un comme étant le plus grand côté, et "c" n'est qu'une lettre, il pourrait bien le choisir b ou a que ça ne changerait rien au problème.
Et chaque triangle a son plus grand côté, et dans le cas d'un isocèle ou d'un équilatéral, ça sera deux ou tous les côtés.
J'espère avoir répondu à ton interrogation.

houssa a écrit:

donc de la rigueur !!!

En géométrie, je pense que dans certains cas, il est possible de favoriser la concision à la rigueur, car il est très rare que l'intuition vient à l'encontre des vérités.

houssa a écrit:

3) pourquoi les triangles (a,b,c) et (x,y,c) ont le même R???

(x,y,c) est rectangle d'hypoténuse c. Donc le point qui fait face à c est en rotation sur un cercle de diamètre c. En particulier, ce cercle-ci contient les trois points du triangle : il est circonscrit au triangle.

EDIT : je me rends compte que ce que je dis est faux.

Tentative de restructuration de la réciproque :
Montrons que si a²+b²+c²=8R², alors ABC est rectangle.
Soit A le point qui fait face à c. Soit (C) le cercle de diamètre c. Soit M un point arbitrairement choisi du cercle. Notons x=MB, y=MC. Le triangle MBC est rectangle en M, le rayon de son cercle circonscrit est R : x²+y²+c²=8R². Or, d'après l'hypothèse : a²+b²+c²=8R². Donc x²+y²=a²+b². Mais x²+y²=c² d'après Pythagore. Donc a²+b²=c². D'après le théorème inverse de Pythagore, il vient que ABC est rectangle en c.

Bonjour,

Un triangle ABC (non aplati) est rectangle si et seulement si \small \sin^2 \widehat{A} + sin^2 \widehat{B} + sin^2 \widehat{C} = 2

m = 3 - (SinA ² + sinB ² + sinC ²)
= 3 - (a²/4R² + b²/4R² + c²/4R²)
= 3 - (a² + b² + c²) / 4R²
* fixer C obtus:
Alors a²+b²<c² et c<2R; c²<4R ²
a²+b²+c²<2c²<8R²
Donc (a²+b²+c²)/4R²<2 => a²+b²+c²<8R²
Si m> 1, choisir A.
Donc: ABC est un triangle rectangle si et si que m=1, donc: a²+b²+c²=8R².

Merçi

salam

pour dij...

tu as écris 4e ligne.................................x²+y²+c²=8R²
Or d'après .............a²+b²+c²= 8R² (FAUX) =8 R'²

R = rayon de MBC = c/2, mais R' = rayon de ABC

...........................................................................

houssa a écrit:

salam

pour dij...

tu as écris 4e ligne.................................x²+y²+c²=8R²
Or d'après .............a²+b²+c²= 8R² (FAUX) =8 R'²

R = rayon de MBC = c/2, mais R' = rayon de ABC

...........................................................................

Certes. Je tourne en rond. Je renonce.

M.Marjani a écrit:

Bonjour,
Un triangle ABC (non aplati) est rectangle si et seulement si \small \sin^2 \widehat{A} + sin^2 \widehat{B} + sin^2 \widehat{C} = 2
m = 3 - (SinA ² + sinB ² + sinC ²)
= 3 - (a²/4R² + b²/4R² + c²/4R²)
= 3 - (a² + b² + c²) / 4R²
* fixer C obtus:
Alors a²+b²<c² et c<2R; c²<4R ²
a²+b²+c²<2c²<8R²
Donc (a²+b²+c²)/4R²<2 => a²+b²+c²<8R²
Si m> 1, choisir A.
Donc: ABC est un triangle rectangle si et si que m=1, donc: a²+b²+c²=8R².
Merçi

D'une autre manière:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Et ainsi le problème est de démontrer qu'un triangle dont les angles vérifient est rectangle, le contraire est vite fait (Si ABC est rectangle alors ).

Je termine:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc l'un des angles du triangle ABC a un cosinus nul.
Donc l'un des angles du triangle ABC vaut 90°.
Donc le triangle ABC est rectangle.
CQFD.

Bravo nmo.