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1 Soient donné dans le plan six cercles ayant un point intérieur commun. Montrer qu’il existe un cercle parmi ces six qui contienne dans sa zone intérieure le centre d’un autre des cercles donnés
2 Résoudre l’équation suivante:
3 Résoudre le système d’équations
4 Soit M le milieu de l’arc AB contenant C sur le cercle c circonscrit au triangle ABC. Soit J le centre du cercle exinscrit au côté AB. La droite passant par J et perpendiculaire à la bissectrice CJ coupe la droite AC en D, la droite BC en E. Soit F l’autre point d’intersection de la droite MJ avec le cercle c. Montrer que le cercle passant par les points D, E, F est tangent aux droites AC, BC ainsi qu’au cercle c.
5 Montrer que l’inégalité ci-dessous est vraie pour des nombres strictement positifs a, b, c quelconques:
7 Les points A, B, C et D se trouvent sur une droite dans cet ordre et AB=BC. Tracer deux droites perpendiculaires à AD passant par B et par C. La droite perpendiculaire à AD passant par B coupe le cercle de diamètre AD en P et en Q, la droite perpendiculaire à AD passant par C coupe le cercle de diamètre BD en K et en L. Montrer que le centre du cercle passant par P, K, L et Q est B.
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