7 solutions à l'équation f(x)=0

Soit f : [0 , 1] -> IR une fonction numérique définie et continue sur l'intervalle [0 , 1].
On suppose que f(0)=f(1)=0 et que pour tout x de l'intervalle [0 , 7/10], f(x+3/10) est différent de f(x).
Démontrer que l'équation f(x)=0 a au moins 7 solutions sur [0 , 1].

Salam,
joli problème!

alors ou
pour le cas 1) il est facile de remarquer que
et pur le cas 2)

avec une application correcte du TVI dans les deux cas, on déduira que l'équation admet au moins 5 solutions

et en incluant S={0,1}...cqfd...

N.B. L'hébergeur que j'utilise habituellement a rencontré un problème à ce qu'il me paraît. De ce fait, je vous demanderais gentiment de cliquer sur les images pour qu'elles s'affichent dans une taille plus grande.

Dijkschneier a écrit:

Soit f : [0 , 1] -> IR une fonction numérique définie et continue sur l'intervalle [0 , 1].
On suppose que f(0)=f(1)=0 et que pour tout x de l'intervalle [0 , 7/10], f(x+3/10) est différent de f(x).
Démontrer que l'équation f(x)=0 a au moins 7 solutions sur [0 , 1].

la fonction: f(x)=V(x(1-x)) vérifie les donnés et on a:

f(1/10)=3/10
f(2/10)=4/10
f(3/10)=V21/10
f(4/10)=2V6/10
f(5/10)=5/10
f(6/10)=2V6/10
f(7/10)=V21/10 .. pourtant elle n'admet po 7 solutions pour f(x)= 0 ??

une racine est toujours positive, vérifie tes données

la fonction f(x)=V(x(1-x)) est défini sur [0,1] et continue sur [0,1] !!
je crois que cé plutot le signe de f(x+3/10) qui é différent f(x) non ?

non, pour ta fonction; il s'agit d'une application de [0,1] vers IR+.

et bien dans l'énoncé on a f est une fonction défini sur [0,1] vers IR
, la fonction que j'ai mis é défini sur [0,1] vers IR non ?
et puis ton passage là est un peu rapide tu trouve pas ??

reda-t a écrit:

Salam,
joli problème!

alors ou
pour le cas 1) il est facile de remarquer que
et pur le cas 2)

avec une application correcte du TVI dans les deux cas, on déduira que l'équation admet au moins 5 solutions

et en incluant S={0,1}...cqfd...

N.B. L'hébergeur que j'utilise habituellement a rencontré un problème à ce qu'il me paraît. De ce fait, je vous demanderais gentiment de cliquer sur les images pour qu'elles s'affichent dans une taille plus grande.

excusez moi si j'ai mal compris qq chose

imanos a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Soit f : [0 , 1] -> IR une fonction numérique définie et continue sur l'intervalle [0 , 1].
On suppose que f(0)=f(1)=0 et que pour tout x de l'intervalle [0 , 7/10], f(x+3/10) est différent de f(x).
Démontrer que l'équation f(x)=0 a au moins 7 solutions sur [0 , 1].

la fonction: f(x)=V(x(1-x)) vérifie les donnés et on a:

f(1/10)=3/10
f(2/10)=4/10
f(3/10)=V21/10
f(4/10)=2V6/10
f(5/10)=5/10
f(6/10)=2V6/10
f(7/10)=V21/10 .. pourtant elle n'admet po 7 solutions pour f(x)= 0 ??

CONTRE EXEMPLE -------> REDA ( pour ta fonction; il s'agit d'une application de [0,1] vers IR+. )

imanos a écrit:

et bien dans l'énoncé on a f est une fonction défini sur [0,1] vers IR
, la fonction que j'ai mis é défini sur [0,1] vers IR non ?
et puis ton passage là est un peu rapide tu trouve pas ??

reda-t a écrit:

Salam,
joli problème!

alors ou
pour le cas 1) il est facile de remarquer que
et pur le cas 2)

avec une application correcte du TVI dans les deux cas, on déduira que l'équation admet au moins 5 solutions

et en incluant S={0,1}...cqfd...

N.B. L'hébergeur que j'utilise habituellement a rencontré un problème à ce qu'il me paraît. De ce fait, je vous demanderais gentiment de cliquer sur les images pour qu'elles s'affichent dans une taille plus grande.

excusez moi si j'ai mal compris qq chose

en utilisant la condition du premier cas, on a f(1/6)=f(1/3+1/3) < f(1/3)<0 et ainsi de suite pour les autres.
en fait, la donnée "clé" pour résoudre cet exo se résumait à la condition:

Citation :

pour tout x de l'intervalle [0 , 7/10], f(x+3/10) est différent de f(x).

et pour ce qui est en rouge, je te prierais de lire mes messages précédents.

reda-t a écrit:

Salam,
joli problème!

alors ou
pour le cas 1) il est facile de remarquer que
et pur le cas 2)

avec une application correcte du TVI dans les deux cas, on déduira que l'équation admet au moins 5 solutions

et en incluant S={0,1}...cqfd...

N.B. L'hébergeur que j'utilise habituellement a rencontré un problème à ce qu'il me paraît. De ce fait, je vous demanderais gentiment de cliquer sur les images pour qu'elles s'affichent dans une taille plus grande.

VOUS REMARQUEZ PAS QUE f(x)=0 N EST PAS DEFINIE SUR {3/10;;7/10} DONC LES SOLUTIONS SE TROUVENT DANS f(x) différent de (x-3/10)(x-7/10)
DONC LA COURBE DE f(x) SERAIT EN HAUT DU 0 OU SOUS 0 7 FOIS !!
DONC L INTERSECTION SERAIT EN 7 POINTS AU MOINS !!

reda-t a écrit:

DANS 3/10 LA COURBE SE TROUVE EN HAUT OU SOUS DU 0. MEME DANS 7/10
ET CAR IL EST CONTINUE DONC ...........

imanos a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Soit f : [0 , 1] -> IR une fonction numérique définie et continue sur l'intervalle [0 , 1].
On suppose que f(0)=f(1)=0 et que pour tout x de l'intervalle [0 , 7/10], f(x+3/10) est différent de f(x).
Démontrer que l'équation f(x)=0 a au moins 7 solutions sur [0 , 1].

la fonction: f(x)=V(x(1-x)) vérifie les donnés et on a:

f(1/10)=3/10
f(2/10)=4/10
f(3/10)=V21/10
f(4/10)=2V6/10
f(5/10)=5/10
f(6/10)=2V6/10
f(7/10)=V21/10 .. pourtant elle n'admet po 7 solutions pour f(x)= 0 ??

TU N AS TROUVE AUCUNE SOLUTIONS. TOUTES LES SOLUTIONS QUE T AS TROUVE DIFFERENT DE 0

ET SI NOUS ADMETTONS TA FONCTION ON TROUVE QUE SA COURBE EN HAUT DU 0 TOUJOURS. POURTANT SI TU ADMMETE f(x)=x(x-1) LA COURBE DE CETTE FONCTION SE TROUVE TOUJOURS SOUS LE 0 SAUF {0,1} !!!
DONC TA FONCTION N EST PAS PRIS EN CONSIDERANCE f(x+3/10) DIFFERENT DE f(x).

imanos a écrit:

la fonction: f(x)=V(x(1-x)) vérifie les donnés
pourtant elle n'admet po 7 solutions pour f(x)= 0 ??

La fonction f(x)=sqrt(x(1-x)) ne vérifie pas les données.
Prenez x=7/20. On aura f(x+3/10) = f(x).

reda-t a écrit:

en utilisant la condition du premier cas, on a f(1/6)=f(1/3+1/3) < f(1/3)<0 et ainsi de suite pour les autres.

Pourquoi f(1/3 + 1/3) < f(1/3) ?

Othman est tout à fait raison, je présente quelques indications:

f(x)=/f(x+3/10) et f(x)=0 donc: f(x+3/10)=/0 pour tout x £[0, 7/10].
Poser x+ 3/10=X, donc f(X)=/0 pour tout X £[3/10, 1].
On remarque que f est en haut, ou sous 0 sur [3/10, 1], donc les solutions de f(x)=0 se trouvent sur [0,3/10[U{1}

"=/" veut dire différent.

Dijkschneier a écrit:

Soit f : [0 , 1] -> IR une fonction numérique
définie et continue sur l'intervalle [0 , 1].
On suppose que f(0)=f(1)=0 et que pour tout x de
l'intervalle [0 , 7/10], f(x+3/10) est différent de f(x).
Démontrer que l'équation f(x)=0 a au moins 7 solutions sur [0 , 1].

BJR Dijkschneier !!

De passage .... Je n'aime réellement pas laisser un exo aussi joli sans
en donner une Soluce quand je le peux !!!

On considère l'application g de J=[0;7/10] à valeurs dans IR définie par
g(x)=f(x+3/10)-f(x) si 0<=x<=7/10 .
Une telle application est naturellement CONTINUE sur J , en plus , selon les hypothèses ,
elle ne S'ANNULLE PAS SUR J
Selon le TVI , on peut conclure que g a un SIGNE CONSTANT
On peut , quitte à chager f en (-f) supposer que g>0 sur J .
On pourra conclure donc que :
f(1)>f(7/10)>f(4/10)>f(1/10)
puis que :
f(9/10)>f(6/10)>f(3/10)>f(0)
soit , puisque f(0)=f(1)=0
f(9/10)>f(6/10)>f(3/10)> 0 >f(7/10)>f(4/10)>f(1/10) (*)

Notez déjà que f est nulle en deux points au moins qui sont 0 et 1

Il nous faut en trouver CINQ autres ?????

Il suffit de bien OBSERVER la suite d'inégalités (*) et de penser au TVI ....
Sur les intervalles
[7/10 ;9/10]
[6/10 ;7/10]
[4/10 ;6/10]
[3/10 ;4/10]
[1/10 ;3/10]
le TVI est applicable à f ( car elle change de signe aux extrêmités )

On aura alors de manière sûre CINQ valeurs distinctes x1,x2, ..... , x5 telles que :
1/10 <x1 < 3/10 < x2 < 4/10 < x3 < 6/10 < x4 < 7/10 < x5 <9/10
avec f(xi)=0 pour i=1,2, .... ,5

et voilà le Petit Monstre d'exo de Disjkschneier démystifiée !!!!!

Au Plaisir !!! LHASSANE

Très joli Bison_Fûté. Ce problème fut proposé au concours général de 2005 : http://www.animath.fr/old/cg/cg_05.pdf
Merci pour vos essais et bravo à Bison_Fûté.

BJR Dijkschneier !!

Ah Bon !!
Quelle coincidence le CG de 2005 et c'est l"année ou j'ai quitté la Fac dans le cadre du Départ Volontaire ....

Ah Je t'assure que c'est un sacré exo très joli en tout cas et Je me suis bien amusé à le chercher !!
Vous devriez en poser souvent parceque ces exos sont originaux et de difficulté semblable aux Olympiades !!
Et c'est bien de se faire la main dessus ....

LHASSANE

Merci beaucoup pour la Doc. !!!