exo ext. du : concours d'ENSA kénitra 2010

Cochez la réponse juste :

on la suite (Un) définie par son terme général !

Un = Sigma (de 1->n) ln(1 + k/n^2 ) .


1- (Un) converge vers 0 .

2- (Un) n'a pas de limite .

3- (Un) converge vers 1/2 .

4- (Un) converge vers e^(-1/2) .

C'est sigma de 1 jusqu'à n?
Prière si tu a l'épreuve de ce concours poste la.

oui le sigma de 1 jusqu'à n ... pour le concours personne n'a l'épreuve ; car ils ne nous ont pas laissée ...

Question 1 :
Pour tout réel x positif on a :
A : x <= ln(1+x) et ln(1+x) <= x - x²/2
B : x - x²/2 <= ln(1+x) et ln(1+x)<=x
C : x - x²/2 <= ln(1+x) ou bien ln(1+x)<=x
D : x <= ln(1+x) ou ln(1+x) <= x - x²/2

Question 2 :
On considère la suite (u_n)_(n>=1) définie par : u_n = ln(1+1/n²)+ln(1+2/n²)+...+ln(1+n/n²)
A : La suite (u_n)_(n>=1) converge vers 0
B : La suite (u_n)_(n>=1) n'a pas de limite
C : La suite (u_n)_(n>=1) converge vers 1/2
D : La suite (u_n)_(n>=1) converge vers 1/sqrt(e)

Question 3 :
Soient a appartient à R privé de 1, n un entier naturel et p un entier strictement positif. La somme S = somme de (k=n) jusqu'à (k=n+p) de (a^k) vaut :
A : (1-a^(p+1))/(1-a)
B : a^n * (1-a^(p+1))/(1-a)
C : a^(n+(n+1)+...+(n+p))
D : (1-a^(n+p+1))/(1-a)

Je continue après.

pour la question 1 : B et C tous les deux sont justes ... à moins que '' ou bien '' voulait dire '' ou exclusif '' ...

{}{}=l'infini a écrit:

... à moins que '' ou bien '' voulait dire '' ou exclusif '' ...

C'est cela, évidemment.

Pour la deuxième question, la réponse donnée par un moteur de calcul formel est 1/2.

t'es sûr ? l7amdolah .. je ne l'ai choisi que par hasard ..

( j'étais sûr que 0 est impossible car c un piège de calculer la lim de chaque terme .. pour 1/Ve je l'a chassé car

Un = ln( Produit:(1+...)(1..+n/n^2 ) ) si 1/Ve a été le cas donc

limite du produit = e^e^-1/2 c'est compliqué .

donc il reste le cas de 1/2 ou le cas de l'inexistence d'aucune limite .. j'ai préféré le premier ..

{}{}=l'infini a écrit:

t'es sûr ? l7amdolah .. je ne l'ai choisi que par hasard ..

( j'étais sûr que 0 est impossible car c un piège de calculer la lim de chaque terme .. pour 1/Ve je l'a chassé car

Un = ln( Produit:(1+...)(1..+n/n^2 ) ) si 1/Ve a été le cas donc

limite du produit = e^e^-1/2 c'est compliqué .

donc il reste le cas de 1/2 ou le cas de l'inexistence d'aucune limite .. j'ai préféré le premier ..

LES MATHEMATIQUES DEVENUE COMME CA C BIZZZAAAR

Question 4 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de IR de centre x_0. On considère la proposition suivante nommée (P) :
Quel que soit un epsilon strictement positif, il existe un alpha strictement positif, tel que pour tout x appartenant à I, |x-x_0|<alpha => |f(x)-f(x_0)|<epsilon
La négation de (P) est :
A : Il existe un epsilon strictement positif, tel que pour tout alpha strictement positif, il existe un x appartenant à I, tel que |x-x_0|<alpha et |f(x)-f(x_0)|>=epsilon
B : Il existe un epsilon strictement positif, tel que pour tout alpha strictement positif, il existe un x appartenant à I, tel que |x-x_0|>=alpha => |f(x)-f(x_0)|>=epsilon
C : Il existe un epsilon strictement positif, tel que pour tout alpha strictement positif, il existe un x appartenant à I, tel que |f(x)-f(x_0)|>=epsilon => |x-x_0|>=alpha
D : Il existe un epsilon strictement positif, tel que pour tout alpha strictement positif, il existe un x appartenant à I, tel que |x-x_0|<alpha ou |f(x)-f(x_0)|>=epsilon

Question 5 :
Soit n un entier naturel non nul. On pose :
S = Somme de (k=0) jusqu'à (k=n) des combinaisons de k parmi n
P = Somme infinie à partir de (k=0) des combinaisons de (2k) parmi n
I = Somme infinie à partir de (k=0) des combinaisons de (2k+1) parmi n
On a :
A : S = 2^n et P = I = + l'infini
B : S = P + I, P = I = 2^(n-1) et S = 2^n
C : S = 2^(n+1) et P = I = 2^n
D : S = 2^n et P différent de I

Question 6 :
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et f : [a,b] -> IR une fonction continue. m et M désignent respectivement la valeur minimale et maximale de f sur [a,b]. Le théorème des valeurs intermédiaires stipule :
A : Seules quelques valeurs comprises entre m et M sont prises par f
B : Aucune valeur comprise entre m et M n'est prise par f
C : Toute valeur entre m et M est prise par f
D : Seulement les valeurs comprises strictement entre m et M sont prises par f

Question 7 :
Soient t un réel non multiple de PI et n un entier naturel non nul. On pose :
R = 1 + cos(2t) + cos(4t) + ... + cos(2nt) et S = sin(2t) + sin(4t) + ... + sin(2nt)
On a :
A : R = cos(nt/2) * (sin(n+1)t/2)/(sin(t/2)) et S = sin(nt/2) * (sin(n+1)t/2)/(sin(t/2))
B : R = cos(nt) * (sin(n+1)t)/(sin(t)) et S = sin(nt) * (sin(n+1)t)/(sin(t))
C : R = sin(nt/2) * (sin(n+1)t)/(sin(t)) et S = cos(nt/2) * (sin(n+1)t)/(sin(t))
D : R = (cos(n+1)t)/(cos(t)) et S = (sin(n+1)t)/(sin(t))

Question 8 :
u, v et w désignent les racines complexes de l'équation x^3 + x² + x + 1 = 0 d'inconnue x appartenant à C. On a :
A : u + v + w = -1 , uw + uw + vw = +1 et uvw = -1
B : u + v + w = +1 , uw + uw + vw = -1 et uvw = +1
C : u + v + w = -1 , uw + uw + vw = -1 et uvw = +1
D : u + v + w = +1 , uw + uw + vw = +1 et uvw = -1

Question 9 :
On pose, pour tout n >= 1, u_n = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(n+n). La limite de la suite (u_n)_(n>=1) vaut :
A : 0
B : ln(2)
C : 1
D : 1/ln(2)

Question 10 :
Soient a un réel tel que 2 <= a <= 6, b un nombre réel e f : [1,3] -> IR la fonction définie par f(x)=x²-ax-b, on pose Delta = maximum de |f(x)| quand x varie entre 1 et 3 bornes inclues.
A : Delta = |f(a/2)|
B : Delta = max(|f(1)|, |f(3)|, |f(a/2)|)
C : Delta = min(|f(1)|, |f(3)|, |f(a/2)|)
D : Delta = |f(1)| + |f(3)| + |f(a/2)|

Question 11 :
Soit ABC un triangle non aplatit, on pose BC = a, AC = b et AB = c. R et r désignent respectivement les rayons des cercles circonscrit et inscrit au triangle ABC. On a :
A : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R
B : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 1/2R
C : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2r
D : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 1/2r

Question 12 :
Le reste de la division euclidienne de 7^(2011) par 9 est :
A : 0
B : 4
C : 7
D : 1

Question 13 :
Si f : [a,b] -> C est une fonction telle que les fonctions partie réelle de f, notée Re(f), et partie imaginaire de f, notée Im(f), sont continues sur [a,b]. On pose : L'intégrale entre a et b de (f(x)dx) = L'intégrale entre a et b de (Re(f)dx) + i * l'intégrale indéfinie (mais je suppose entre a et b) de (Im(f(x)dx).
Pour tout x appartenant à IR et pour tout n,m appartenant à Z, on pose e_n(x) = e^(inx) et I_(n,m) = L'intégrale entre 0 et 2PI de ( e_n(x) * le conjugué de (e_m(x)) dx ). On a :
A : I_(n,m) = 0 si n=m
B : I_(n,m) = 2PI si n est différent de m
C : I_(n,m) = 2PI si n=m
D : I_(n,m) = -2PI si n est différent de m

Un concours assez facxile, je dois dire, sauf les tables qui n'étaient pas très confortables.
Pour la deuxième question, il suffit de prouver que Un est comprise entre 1/2 et (n+1)/(2n)

Question 14 :
Soient a et b deux nombres réels et n un entier naturel pair supérieur ou égal à 4. On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x^n - ax - b. L'équation f(x) = 0 a :
A : Zéro racine réelle.
B : Exactement n racines réelles.
C : Au moins deux racines réelles.
D : Au plus deux racines réelles.

Question 15 :
On pose I = L'intégrale entre 0 et 1 de ( ((t+2)/(t+1))^3 dt ) . On a :
A : I = 23/8 + 2ln(3)
B : I = 23/8 + 3ln(2)
C : I = 3ln(2)
D : I = 23/8

Fin.

Merci de souligner toute erreur remarquée dans l'énoncé.

Dijkschneier a écrit:

Question 14 :
Soient a et b deux nombres réels et n un entier naturel pair supérieur ou égal à 4. On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x^n - ax - b. L'équation f(x) = 0 a :
A : Zéro racine réelle.
B : Exactement n racines réelles.
C : Au moins deux racines réelles.
D : Au plus deux racines réelles.

Question 15 :
On pose I = L'intégrale entre 0 et 1 de ( ((t+2)/(t+1))² dt ) . On a :
A : I = 23/8 + 2ln(3)
B : I = 23/8 + 3ln(2)
C : I = 3ln(2)
D : I = 23/8

Fin.

Merci de souligner toute erreur remarquée dans l'énoncé.

C'est plutôt ^3

Merci.

Dijkschneier , tu reponds à des questions auquelles on a pas vraiment les énoncés. Tu peux nous en faire part stp ?

Othmaann a écrit:

Dijkschneier , tu reponds à des questions auquelles on a pas vraiment les énoncés. Tu peux nous en faire part stp ?

Vous faire part quoi ?

Euh non rien désolé , juste un malentendu.

oussama1305 a écrit:

Un concours assez facxile, je dois dire, sauf les tables qui n'étaient pas très confortables.
Pour la deuxième question, il suffit de prouver que Un est comprise entre 1/2 et (n+1)/(2n)

comment faire ? est ce que t'as utilisé l'inégalité du premier exercice ?

Non, c'est plus corsé : les accroissement finis.
Si vous voulez la méthode complète vous n'avez qu'à le dire.

D'accord ; je veux bien voir ta méthode ..!

Je vais prouver que 1/2 <= Un <= (n+1)/2n
Prenons la fonction définie sur [0,+infini[ comme suit : f(x) = ln(n²+x), on a 1/(n²+n) <= f'(x) = 1/(n²+x) <= 1/n² quelque soit x de [0,k], avec les accroissement finis, on a : 1/(n²+n) <= (ln(n²+k)-ln(n²))/k <= 1/n² donc k/(n²+n) <= ln(1+k/n²) <= k/n²
On somme les k de 1 à n, on trouve n(n+1)/2(n²+n) <= Un <= n(n+1)/2n
Donc : 1/2 <= Un <= (n+1)/2n
Et puisque (n+1)/2n tend vers 1/2, la conclusion en découle d'après le théorème des gendarmes.

l'autre méthode , utiliser la premiére Inégalité puis sommer
et utiliser : Sigma (k variant de 1 à n) k² = n(n+1)(2n+1)/6