Grand Jeu d'Hiver 2009-2010.(préparation à l'imo 2010.)

Au lieu de poster chaque fois un peu partout des exos,nous pouvons réserver ce topic pour ces exos (de bon niveau)

sans trop parler,on propose un problème et on résoud ^^,chaque exo doit etre résolu en 24h (48h est trop je pense!),ce qui a pu trouver la solution poste un exo et ainsi de suite....


Problème 1:

prouver pour (a,b,c)>0 :



Merci à tous!.

Réponse approximative :
On utilise Chebychev :
ΣV(a/b+c)
> Σ(Va)/3 . Σ(1/Vb+c)
> Σ(Va)/3 . (Σa²)/Σ(a².V(b+c)) (d'après C.S)
> Σ(Va)/9 . (Σa)² / Σ(a²V(b+c)) (du fait que Σa²>1/3 (Σa)² )
Qui est clairement plus quand que : V[(Σa)^3/Σa²(b+c)] en élevant au carré

C'est une simple application de Holder



apré c immediat

Thalès tu peux posté ton exo

ok,voilà ma réponse:

Holder==>Σ(\sqrt(a/(b+c)).Σ(\sqrt(a/(b+c)).Σ(a²(b+c))>=(a+b+c)^3.

et c fait!.

Poste ton exo Thalès!.

DSl j'ai pas vu ta réponse EINSTEINIUM...

Soient x,y,z>0 tel que : x+y+z=1
Prouver que : (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)>=64

on a directement avec am gm

Yép, poste ton exo Einsteinium

Soit a,b,c dé réels positif tel que a²+b²+c²=1 Montrer que :

on considere la fonction f(x)=(\sqrt(x)/(1-x)), f est convex dans [0,1]... et par jensen:

\sum(a/(1-a²))>=3.f(1/3)=3\sqrt(3)/2.

poste Ton exo !

ok !

on change un peu!

trouver tt les fonctions f:IR-->IR tel que:

f(x+f(x)f(y))=f(x)+xf(y)

bonne chance!

bon 24h est écoulé et pas de réponse...

je propose la solution:


je propose un nouveau pb:

prouver pour (a,b,c)>0 :



bonne chance!

la fonction est convex donc :

il suffit de prouver que :



ce qui est immediat par jensen

oui c ca!

à toi l'honneur

Considérons la suite a_n définit par :

a_0=1 et a_1=3 et a_{n+2}= (n+3)a_{n+1}-(n+2)a_n

Trouvez tous les entiers n pour lesquels a_n est divisible par 11

Juste une remarque dans la solution de perelman:

dans la dérnière étape si on remplace y par -1 on aura pas f(x)=x ou f(x)=-x on auura

f(x+f(x))=x+f(x) ou f(x-f(x))=f(x)-x cela ne veux pas dire que f(x)=x ou f(x)=-x pout tt x £ IR car x+f(x) on sé pas si elle prend tous les valeurs dans IR

oui t'as raison,j'ai rédigé cette demo il y a longtemps.....

je reviens si je trouve qqc.

EINSTEINIUM a écrit:

si on remplace y par -1 on aura pas f(x)=x ou f(x)=-x on auura

f(x+f(x))=x+f(x) ou f(x-f(x))=f(x)-x cela ne veux pas dire que f(x)=x ou f(x)=-x pout tt x £ IR car x+f(x) on sé pas si elle prend tous les valeurs dans IR

si f(x)=x ou f(x)=-x alors on aura f(f(x)+x)=x+f(x) ou f(x+f(x))=-f(x)-x ...

EINSTEINIUM a écrit:

Considérons la suite a_n définit par :

a_0=1 et a_1=3 et a_{n+2}= (n+3)a_{n+1}-(n+2)a_n

Trouvez tous les entiers n pour lesquels a_n est divisible par 11

Bonsoir,

Je n'ai pas le temps pour écrire ma solution entière,mais je donne une indication :

Prouver que pour tout n de IN* : a_n = 2 ( 1! + ... + n! ) + 1.

Le reste est assez facile !

slt rachid.

j'ai procédé aussi je pense de la meme facon en utilisant les relations de réccurences pour trouver a_n en fonction de n,mais je n'avais pas le temps pour terminer les calculs...

Tu peux poster un nouveau pb en attendant une confirmation de EINSTEINIUM.

@. : on a plutot le contraire f(x+f(x))=f(x)+x et on doit montrer la surjectivité de x-->x+f(x) pour conclure

Rachid m'a envoyé sa solution complète et je crois qu'elle est juste. je vais poster un nouveau exo a sa place :

Trouvez tous les applications f: IN --> IN Vérifiant :

f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))=3n pour tt n £ IN

Bonsoir..

f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))=3n.

f(n)=f(m)

=>f(f(n))=f(f(m)) et f(f(f(n)))=f(f(f(m))) donc 3m=3n ce qui veut dire que f est injective.

n=0==>f(0)=0(f>=0)

n=1==>f(1)+f(f(1))+f(f(f(1)))=3==> f(1)=1. (injectivité de f).

supposons que pour tt n'=<n-1 on a f(n')=n' et on montre pour n.

n>n-1 => f(n)>n-1 (car f est injective.)

f(f(n))>n-1 et f(f(f(n)))>n-1.

et on introduisant l'injectivité une autre fois on tire que :

f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))>3n. est c une contradiction puisque:

f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))=3n

=>f(n)=n pour tt n£IN.

a toi de poster le prochain exo

Problème 8:

trouver tt f:IR-->IR tel que pour tt (x,y)£IR on a:


f(x²+f(y))=y+(f(x))²

pour le pb 4 je propose une jolie solution de Mr.nemo .

x=y=-1 ==> f(-1+f(-1)^2)=0. Appelons u=f(-1)^2-1. On a donc f(u)=0
x=u ==> 0=uf(y) et donc soit f(x)=0 pour tout x (première solution), soit u=0 et donc f(-1)^2=1

si f(x) est solution, alors -f(x) est solution. Choisissons donc arbitrairement f(-1)=-1

On a donc f(0)=0 et f(-1)=-1. Soit maintenant a=f(1)

x=1 et y=-1 ==> f(1-a)=a-1
x=-1 et y=1-a ==> f(-a)=-a
x=1 et y=-a ==> f(1-a^2)=0 et donc a^2=1 mais a ne peut être -1 car f(-a)=-a impliquerait f(1)=1
Donc f(1)=1

x=-1 et y=v ==> f(-f(v)-1)=-f(v)-1
x=1 et y=-f(v)-1 ==> f(-f(v))=-f(v)
x=-1 et y=-f(v) ==> f(f(v)-1)=f(v)-1

Soit alors v=x-f(x) et w=f(v)-1 : on a f(w)=f(x-f(x))-1 et donc -1-f(w)=-f(x-f(x))

Mais : y=-1 ==> f(x-f(x))=f(x)-x et donc -1-f(w)=x-f(x)
Mais : x=-1 et y=w ==> f(-1-f(w))=-1-f(w) et donc f(x-f(x))=x-f(x)

Donc x-f(x)=f(x)-x et donc f(x)=x, qui est effectivement une solution.

D'où les deux solutions f(x)=x et f(x)=-x

On veut dire quoi dèjà par la convexité xD ? ^^