Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)

chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )

puis il poste le message suivant ici "solution postée".pour plus d'information voir les conditions de participation.

pour ceux qui veulent l'envoyer en mp,veuillez l'envoyer à ma boite!

Merci!

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Solution POstée ..
BOnne Annee a tous les forumistes Wink

Expert sup Nombre de messages : 1482 Age : 30 Date d'inscription : 12/12/2009

Une question subsidiaire : le format Word est-il vraiment inévitable ? Le format pdf, par exemple, n'est-il pas acceptable ?

Expert sup Nombre de messages : 1482 Age : 30 Date d'inscription : 12/12/2009

Solution postée.

Expert sup Nombre de messages : 1693 Age : 68 Date d'inscription : 17/11/2008

solution postée

Maître Nombre de messages : 148 Age : 35 Date d'inscription : 17/03/2007

postée

majdouline a écrit:: solution du problème de la semaine n°217(sauf erreur):
Lemma :
Commençons par démontrer que √m est rationnel<=>m est un carré parfait
L’application m est un carré parfait ==>√m est rationnel est triviale (puisque m=u²⇔√m=u avec u∈IN qui est rationnel)
Maintenant : √m est rationnel==> m est un carré parfait
Soit √m=p/q(tel que (p,q)∈IN² et pgcd(p,q)=1)
Equivaut à : m=p²/q² ⇔q²m=p² alors m divise p² alors p²=km (avec k∈IN)
On a : m=p²/q² ça devient donc : m=km/q²⇔q²=k
K est donc un diviseur commun de p² et q²…or il est facile de démontrer par bézout que pgcd(p²,q²)=1 puisque pgcd(p,q)=1) donc k=1⇔q²=1 alors m=p²/q² devient m=p² ====>m est donc un carré parfait
End of lemma
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supposons (∃n∈IN*) : $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$
posons donc:
$Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$
$Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$
$Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$
d'après le lemme qu'on vient de démontrer n²-1 doit être un carré parfait ...
or pour tout n>1 on a :(n-1)²<n²-1<n²
ce qui est absurde (un carré parfait entre deux carrés successifs)
il nous reste donc le cas où n=1 en vérifiant ce cas on trouve que ça donne V2 ce qui est irrationnel
-----------------------------------------------------------------------------------
conclusion:
$Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$

Lahcen BOUNADER a écrit:: Salam Voilà ce que je propose comme solution:
On pose : N=rac(n-1)+rac(n+1)
Supposons qu'il existe (p,q)£ZxN* tel que : N=p/q avec p et q sont premiers entre eux. alors cherchons l'entier n qui verifie cela :
on a : N=p/q equivaut à N²=p²/q²
equivaut à 2n+2rac(n²-1)=p²/q²
equivaut à rac(n²-1)=p²/(2q²)-n
càd : n²-1=p^4/(4q^4)+n²-np²/q²
donc p²/q²) *(n-p²/(4q²))=1
alors : p²(n-p²/(4q²))=q² . Puisque p et q sont premiers entre eux alors q² divise (n-p²/(4q²)) càd qu'il exite k £Z tel que : n-p²/(4q²)=kq²
donc : 4n-4kq²=p²/q² ce qui est contredit avec p et q sont premiers entre eux . On deduit alors qu'il n'existe pas d'entier n tel que N soit rationnel
Par : Lahcen Bounader

yugayoub a écrit:: Salut Mr Radouane voilà ma solution pour
le probleme de la semaine n° : 217

On supose qu’il existe un entier tel que racine(n+1)+racine(n-1) est rationnel donc racine(n+1)+racine(n-1) =a/b (tel que pgcd(a,b)=1)
<==>2(1+ racine(n²-1)) =a²/b²

<==>a²=2(1+ racine(n²-1))b²

<==>a est pair==> il existe k tel que 2k=a donc 4k²=2(1+ racine(n²-1))b²

<==>2k =racine[2(1+ racine(n²-1))]b

<==>b= 2k/racine[2(1+ racine(n²-1))] posant donc racine[2(1+ racine(n²-1))] =k’

<==> b=2k’ ==> b est aussi pair

Puisque a et b son pair alors pgcd(a,b)=2=1 <==>2=1 (absurde)
Donc il existe aucun entier tel que racine(n+1)+racine(n-1) est rationnel
@+

houssam110 a écrit:: Salut ..
[/img]https://2img.net/r/ihimizer/img109/4938/problemedlasmaine217.png[img]

memath a écrit:: supposons qu'un tel entier positif n existe.

puisque (V(n+1)-V(n-1))(V(n+1)+V(n-1))=2€N

V(n+1)-V(n-1) est rationel et donc V(n+1) et V(n-1) sont rationels

donc il existe des entiers a,b,c,d tel que a^b=1 et c^d=1

et V(n+1)=a/b , V(n-1)=c/d

<==> n+1=a²/b² , n-1=c²/d²

donc b=d=1

et donc a²-c²=2

donc c<a <==> c=<a-1

a²-c²>=a²-(a-1)²=2a-1

pour a=1 , c n'existe pas , pour a>=2 a²-c²>=3, absurde.!

Dijkschneier a écrit:: On peut intuitivement deviner que cet entier n ne peut exister.
Supposons effectivement par l'absurde que $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$
On peut bien sûr supposer que notre quotient $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$ est irréductible.
Par passage au carré : $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$
D'où $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$
Ainsi, a-t-on : $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$
Mais $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) B^{2}$ ne peut être pair, car sinon $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$ ne serait plus irréductible.
Donc $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$ est pair.
Maintenant, $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$ est soit un entier, soit un irrationnel.
S'il est irrationnel, alors $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$ ne peut être un entier, et ne saurait donc être pair. Contradiction.
S'il est un entier, n et $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$ serait clairement de parité différente, et donc leur somme serait forcément impaire. Contradiction, là encore.
Il n'existe finalement pas d'entier n tel que $Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010) Gif$ est un rationnel.

Sujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)

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