Problème de la semaine N°218(04/11/2009-11/01/2010)

Semi solution postée (a est entier.)!

solution postée.

solution postee

salam

Mr radouane -BNE

avec toute modestie je ne vois pas pourquoi ma réponse au Pb 218

n'apparaît pas dans les archives ,

par contre celle de houssam110 n'est pas bien lisible et incomplète .

soyez un peu juste.
.

houssa a écrit:

salam

Mr radouane -BNE

avec toute modestie je ne vois pas pourquoi ma réponse au Pb 218

n'apparaît pas dans les archives ,

par contre celle de houssam110 n'est pas bien lisible et incomplète .

soyez un peu juste.
.

malheureusement j'ai réçu de toi !

radouane_BNE a écrit:

houssam110 a écrit:

Salam voici ma semi solution (car on na po encore etudier mod..)
Commençons par démontrer que √m est rationnel<=>m est un carré parfait
L’application m est un carré parfait ==>√m est rationnel est triviale (puisque m=u²⇔√m=u avec u∈IN qui est rationnel)
Maintenant : √m est rationnel==> m est un carré parfait
Soit √m=p/q(tel que (p,q)∈IN² et pgcd(p,q)=1)
Equivaut à : m=p²/q² ⇔q²m=p² alors m divise p² alors p²=km (avec k∈IN)
On a : m=p²/q² ça devient donc : m=km/q²⇔q²=k
K est donc un diviseur commun de p² et q²…or il est facile de démontrer par bézout que pgcd(p²,q²)=1 puisque pgcd(p,q)=1) donc k=1⇔q²=1 alors m=p²/q² devient m=p² ====>m est donc un carré parfait
-----------------------------------------------------------------------
considérons mnt la ssuite U_n=sin(na) ; sin a=3/5 ==> cos a =4/5
Montrons que U_n=x/5^n avec x un entier ==> cos (na)=V(5^2n-x²)/5^n
pour U_1=3/5==> 3/5^1 correcte
supposons que U_n=x/5^n x est un naturel
donc on a U_(n-1)=y/5^(n-1)=Sin(na-a)=sin (na).cosa-cos(na).sin (a)
<==>y/5^(n-1)=x/5^n .4/5-V(5^2n-x²)/5^n .3/5
<==> y/5^(n-1)=(4x-3V(5^2n-x²))/5^(n+1)
<==> 25y=4x-3V(5^2n-x²))
<==> V(5^2n-x²)=(25y-4x)/-3 £ Q
donc V(5^2n-x²) est un entier (d'apres ckona démontré au début)
mnt calculons U_(n+1)
U(n+1)=sin(na+a)=sin(na).cos(a)+cos(na).sin(a)
=x/5^n .4/5 +V(5^2n -x²)/5^n .3/5
=(4x+V(5^2n-x²))/5^(n+1)
=z/5^(n+1) --- z=4x+V(5^2n-x²) £ IN
donc par récurrence on aura
qq soit n de IN il existe un x de IN tel que sin (na)=x/5^n
----------------------------------------------------------------
retour a l'exercice..
donc sin (1000a)=x/5^1000 / x£ IN
<===>
A=5^1000.sin(1000a)=x £ IN
donc a £ IN
A+

on doit etre prudent ici, on sait seulement que abs(cos a)=4/5, mais ca ne change pas bcp

ps: on a besoin de latex!!