| Problème de la semaine N°213 (23/11/2009-30/11/2009) | |
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radouane_BNE Modérateur
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radouane_BNE Modérateur
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| chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL amateursmaths@yahoo.fr (Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée".pour plus d'information voir les conditions de participation.
pour ceux qui veulent l'envoyer en mp,veuillez l'envoyer à ma boite!
Merci!
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yassine-516 Maître
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Perelman Expert sup
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wagshall Maître
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radouane_BNE Modérateur
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| solution de memath:
par recurrence sur n€N f(x+n)=f(x)+n pr tt x de Q+
donc f(n)=n+f(0)
de f(x²)=f(x)² on a f(0)€{0,1} f((n+f(0))²)=f²(n+f(0)) on a f(0)=0
donc pr tt n de N f(n)=n
soir r=P/q un rationel positif
f((p/q+q)²)=f(p²/q²+2p+q²)=f(p²/q²)+2p+q²=f²(p/q+q)=(f(p/q)+q)²
ou 2qf(p/q)=2p d ou f(r)=r pr tt r de Q+. | |
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radouane_BNE Modérateur
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| Solution de Perelman:
f(1)=f(0)+1 et on a : f(1)=(f(1))² et f(0)=(f(0))² ==> f(0)=0 et f(1)=1.
on a : f(x+n)=f(x+n-1)+1=f(x+n-2)+2 ==> f(x+n)=f(x)+n et f(n)=n / n£IN.
soit (p,q)£ZxZ*. alors on a: f((p/q+q)²)=f((p/q)²+2p+q²)=f((p/q)²)+2p+q².
et on a: f((p/q+q)²)=(f(p/q+q))²=(f(p/q)+q)²
donc on aura:
f((p/q)²)+2p+q²=(f(p/q))²+q²+2f(p/q)q
<=>(f(p/q))(f(p/q)-(f(p/q)+2q))+2p=0
<=>2(p-q.f(p/q))=0
<=>p=q.f(p/q)
<=>f(p/q)=p/q ==> f(x)=x pour tt x£Q+. | |
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radouane_BNE Modérateur
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| solution de wagshall:
l'equation
f(x+1) = f(x) + 1 donne dans IN pr tt x£IN : f(x) = f(0) + x
f(x²) = (f(x))² donne que f(0)=0 ou f(0)=1
donc f(x²) = f(0) + x² = f(0)² + 2xf(0) + x² ===> f(0) = 0
alors f(x)=x pr tt x£IN
On pose d'abord r = p/q avec (p;q) £ INxIN* et pgcd(p;q) = 1
f(q r) = f(p) = qf(r) ===> f(r) = p/q = r
donc pr tt x£Q+ : f(x)=x cqfd | |
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