Problème de la semaine N°213 (23/11/2009-30/11/2009)

chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )

puis il poste le message suivant ici "solution postée".pour plus d'information voir les conditions de participation.

pour ceux qui veulent l'envoyer en mp,veuillez l'envoyer à ma boite!

Merci!

Maître Nombre de messages : 128 Age : 31 Date d'inscription : 11/10/2009

Solution postée.

Solution postée.

Maître Nombre de messages : 268 Age : 33 Date d'inscription : 11/01/2009

solution postée par MP

solution de memath:

par recurrence sur n€N f(x+n)=f(x)+n pr tt x de Q+

donc f(n)=n+f(0)

de f(x²)=f(x)² on a f(0)€{0,1} f((n+f(0))²)=f²(n+f(0)) on a f(0)=0

donc pr tt n de N f(n)=n

soir r=P/q un rationel positif

f((p/q+q)²)=f(p²/q²+2p+q²)=f(p²/q²)+2p+q²=f²(p/q+q)=(f(p/q)+q)²

ou 2qf(p/q)=2p d ou f(r)=r pr tt r de Q+.

Solution de Perelman:

f(1)=f(0)+1 et on a : f(1)=(f(1))² et f(0)=(f(0))² ==> f(0)=0 et f(1)=1.

on a : f(x+n)=f(x+n-1)+1=f(x+n-2)+2 ==> f(x+n)=f(x)+n et f(n)=n / n£IN.

soit (p,q)£ZxZ*. alors on a: f((p/q+q)²)=f((p/q)²+2p+q²)=f((p/q)²)+2p+q².

et on a: f((p/q+q)²)=(f(p/q+q))²=(f(p/q)+q)²

donc on aura:

f((p/q)²)+2p+q²=(f(p/q))²+q²+2f(p/q)q

<=>(f(p/q))(f(p/q)-(f(p/q)+2q))+2p=0

<=>2(p-q.f(p/q))=0

<=>p=q.f(p/q)

<=>f(p/q)=p/q ==> f(x)=x pour tt x£Q+.

solution de wagshall:

l'equation

f(x+1) = f(x) + 1 donne dans IN pr tt x£IN : f(x) = f(0) + x

f(x²) = (f(x))² donne que f(0)=0 ou f(0)=1

donc f(x²) = f(0) + x² = f(0)² + 2xf(0) + x² ===> f(0) = 0

alors f(x)=x pr tt x£IN

On pose d'abord r = p/q avec (p;q) £ INxIN* et pgcd(p;q) = 1

f(q r) = f(p) = qf(r) ===> f(r) = p/q = r

donc pr tt x£Q+ : f(x)=x cqfd

Sujet: Re: Problème de la semaine N°213 (23/11/2009-30/11/2009)

» Problème de la semaine N°169 (19/01/2009-25/01/2009)
» Problème de la semaine N°210 (02/10/2009-08/11/2009)
» Problème de la semaine N°215(07/11/2009-14/12/2009)
» Problème de la semaine N°170 (26/01/2009-01/02/2009)
» Problème de la semaine N°172 (09/02/2009-15/02/2009)