Grand Jeu d'Hiver 2009-2010.(préparation à l'imo 2010.)

On peut facilement prouver que le quadrilatère est un parallelograme donc : et donc

en utilisant la formule


(o est le centre de

et



car



et la meme chose pour

et d'ou le resultat

oui je pense que c juste EINSTEINIUM! (poste le nouveau exo^^).
Merci de votre intervention Mr.houssa

pour ma solution c en trois lignes (théoreme de Pièrre Varignon)

S_(ABCD)=2.S_(MNQP)

Soit un quadrilatère avec un perimetre . et sont les milieux de and respectivement . Prouvez que si alors est un parallelograme.

ce probleme peut etre traité simplement avec les nombres complexes ;

notons a,b,c,d les affixes respectives de A,B,C et D

donc M(1/2(a+b)) , N(1/2(b+c)) , Q(1/2(a+d)) , P(1/2(c+d))

MP+NQ=|1/2(c+d)-1/2(a+b)|+|1/2(a+d)-1/2(b+c)|

=1/2(|a+d-b-c|+|c+d-a-b|)

1/2p=1/2(AB+AD+BC+CD)=1/2(|b-a|+|d-a|+|c-d|+|b-c|)

2(MP+NQ)=p ==> |x+x'|-|x'|+|y+y'|-|y'|=|x|+|y|

avec x=a-b , y=a-d , x'=d-c , y'=b-c

une manipulation de l'inegalité triangulaire permet d'obtenir |x|=|x'| et |y|=|y'| d'ou AB=CD et AD=BC

Les Gars ! wach kaynine les MMO l3chia ?

oui

je pourrai peut-etre aidez en proposnat de temps en temps quelque exo (inégalité) soit que j'ai resolu ou que j'ai trouvé par moi même, le dernier problem est deja resolu alors je propose une pt'ite inegalité,
Problem: (Own)
Prouver que pour tous on a:

Par Caushy swarchz on a :



donc il suffit de prouver que


et on a


donc il suffit de prouver que


et on a

Par C.S, il suffit de prouver que :
(a+b+c)²/ab+bc+ca>a/b+c + b/a+c + c/a+b
<=> ab+bc+ca>2abc(1/b+c + 1/a+c + 1/a+b)
Ce qui est vrai :
ab+bc+ca/2abc=b+c/4bc + a+c/4ac + a+b/4ab < 1/b+c + 1/a+c + 1/a+b

Ce qui est beau avec ce genre d'inégalités, c'est que même si les théorèmes souvent utilisés ne marchent pas --> on peut foncer tête baissé - faire la brute quoi ^^'- et simplifier l'expression puis un coup de réordonnement (Muirhead) et c 'est bon ^^'.

oui lol mais avec Muirhead c long je crois :d

Même si les méthodes diffèrent, le plus important c'est de résoudre l'inégalité, heuresement pour nous que dans les olymps on peux jamais contraindre l'élève en lui imposant une telle méthode ou bien en lui interdisant une méthode...

oui la liberté.... :d

Lol, sinon pour l'instant je propose une petite question :
Démontrer que :

Considérer le polynome:(Indication)
P(x)=x^(2n)+(-1)^n.
Je vous laisse le soin de continuer!

Bon ça fait presque une journée que je n'ai pas eu de réponses complètes alors je poste ma solution en utilisant les nombres complexes :

J'aimerais bien savoir comment tu vas t'y prendre Beautiful Mind en considérant le polynome x^(2n)+(-1)^n, on trouve normalement :

Mais pour la suite?

Bain Bonne Chance Les olypiadiste Mais ne négligez po Votre Programme !: (Philo English et Sc d'ingé ou Svt) ..

Merci Yassino.

En attendant la réponse de Beautiful Mind et afin de continuer notre jeu , je propose l'exercice suivant :

Puisque les sont tout distinct alors soit une permutation des alors on peut supposer que donc on a claiement



Donc on a par am-gm

Ou encore :
De manière générale (l'inégalité du réordonnement) : si on a a1;a2;...an et b1;b2;...;bn des réels, on considère la somme des ai.b(o)i où b(o)i sont les permutations des bi, la somme est maximale si les b(o)i sont ordonnés comme les ai, et minimale s'ils sont ordonnés à l'inverse.
Pour notre cas, la somme des ai/i² est minimale si les ai sont ordonnés dans l'ordre inverse des 1/i², et puisque les 1/i² sont décroissants alors la somme est minimale lorsque les ai sont croissants , et puisque les ai sont tous entiers et distincts alors ai>=i

Donc pour tout i€{1;2;...n} ai>=i => Σai/i²>=Σi²

non on peut pas supposer que a_n>a_{n-1}...>a_1 car ces nombres ne jouent pas le meme roles c'est pour ca que j'ai supposé une permutation etc....

EINSTEINIUM poste un exo

Voila un jolie exo :

On considère L'ensemble E={0,x_1,x_2,...,x_n,1} tel que 1>=x_i>=0 et pour deux élement quelonques de E, il existe un troisième élements de E tel que les trois réels forment une suite arithmétiques. Montrer que Card(E) =< 5

EINSTEINIUM a écrit:

non on peut pas supposer que a_n>a_{n-1}...>a_1 car ces nombres ne jouent pas le meme roles c'est pour ca que j'ai supposé une permutation etc....

En effet, mais j'avais utilisé l'inégalité du réordonnement pour cet exo...