Grand Jeu d'Hiver 2009-2010.(préparation à l'imo 2010.)

oui bonne réponse rachid , tu peux poster un nouveau probleme

Merci pour la confirmation,voici mon problème :

Soit c un entier naturel non nul.La suite (a_n)(n>=1) est définie par : a_1 = c et a_(n+1) = (a_n)² + (a_n) + c^3 , pour tout entier n >= 1.

Déterminer toutes les valeurs de c pour lesquelles il existe des entiers k >=1 , m >= 2 tel que (a_k)² + c^3 soit la m'thième puissance d'un entier.

je pense qu'il est temps de revivre ce jeu

ona : a_(n+1)= a_n²+a_n+c^3
a_n = ( a_(n-1))² + a_(n-1) + c^3

donc : a_(n+1) -a_n = (a_n-a_(n-1))( a_n+a_(n-1)+1)
<=> : a_n²+c^3= (a_(n-1)²+c^3) ( ( (a_(n-1)+1)²+c^3)

prouvons d'abord que : pgcd(a_(n-1)²+c^3 , (a_(n-1)+1)²+c^3)=1
pr la convenience , je change n-1 par n
pour n=1 , c'est trivial , supposons que c'est vrai pour n , et montrons le pour n+1 : posons x= a_(n)²+c^3 , y=( a_(n)+1)²+c^3
ona : a_(n+1)²+c^3 = ( a_(n)²+c^3) ( (a_(n)+1)²+c^3) = xy
et ( a_(n+1)+1)²+c^3 = a_(n+1)² +2 a_(n+1) + 1 +c^3 = a_(n+1)² +c^3 + 2a_(n+1) +1 = xy +2 ( a_n²+a_n+c^3)+1 = xy + (a_n)²+c^3 + a_n²+2a_n+1+c^3 = xy+ x+y

donc il suffit de montrer que : si pgcd(x,y)=1 alors pgcd(xy+x+y,xy)=1 ce qui est facile , récurence achevée

mnt supposons l'existence d'un k tel que a_k²+c^3 est une puissance entiere , d'apres la lemme démontrée au dessus et en expoitant un résultat connu ( si x=ab une puissance entiere et pgcd(a,b)=1 alors a et b sont des puissances entieres ,**) , alors a_(k-1)²+c^3 est une puissance entiere .... a_1²+c^3 est une puissance entiere
donc il existe a et b ,entiers strictement positifs tel que :
c²(c+1) = a^b , comme pgcd(c²,c+1)=1 , il existe x et y , tel que ; xy=a , pgcd( x,y)=1 et c²=x^b , c+1= y^b , sans perte de généralité supposons que b est paire , remplçons le par 2b , alors c=x^b et :
1= y^(2b) - x^b = (y²-x)(..) , donc y²=x+1 , en substituant ,
(x+1)^b=x^b+1 , comme x est non nul ==>b=1 , alors c=y²-1 , avec y un entier >=1 , réciproquement , a_1²+c^3= y²(y²-1)² qui est une puissance entiere , QED ( sauf erreur)
en attendant la confirmation de si rachid

P.S : démonstration de (**)
supposons que xy= m^n , avec pgcd( x,y)=1, sot p un diviseur premier de m , alors p^n divise x ou bien y
mnt si m = prod ( pi^(bi)) , alors x= k*prod( p_k^(n*b_k)) , et y = k' *prod ( p_j^(n*b_j)) , avec prod( p_k^(b_k)) * prod( p_j^(b_j)) = prod( pi^(b_i)) = m , donc xy=kk'*m^n , donc k=k'=1 d'ou le résultat

neutrino a écrit:

je pense qu'il est temps de revivre ce jeu

ona : a_(n+1)= a_n²+a_n+c^3
a_n = ( a_(n-1))² + a_(n-1) + c^3

donc : a_(n+1) -a_n = (a_n-a_(n-1))( a_n+a_(n-1)+1)
<=> : a_n²+c^3= (a_(n-1)²+c^3) ( ( (a_(n-1)+1)²+c^3)

prouvons d'abord que : pgcd(a_(n-1)²+c^3 , (a_(n-1)+1)²+c^3)=1
pr la convenience , je change n-1 par n
pour n=1 , c'est trivial , supposons que c'est vrai pour n , et montrons le pour n+1 : posons x= a_(n)²+c^3 , y=( a_(n)+1)²+c^3
ona : a_(n+1)²+c^3 = ( a_(n)²+c^3) ( (a_(n)+1)²+c^3) = xy
et ( a_(n+1)+1)²+c^3 = a_(n+1)² +2 a_(n+1) + 1 +c^3 = a_(n+1)² +c^3 + 2a_(n+1) +1 = xy +2 ( a_n²+a_n+c^3)+1 = xy + (a_n)²+c^3 + a_n²+2a_n+1+c^3 = xy+ x+y

donc il suffit de montrer que : si pgcd(x,y)=1 alors pgcd(xy+x+y,xy)=1 ce qui est facile , récurence achevée

mnt supposons l'existence d'un k tel que a_k²+c^3 est une puissance entiere , d'apres la lemme démontrée au dessus et en expoitant un résultat connu ( si x=ab une puissance entiere et pgcd(a,b)=1 alors a et b sont des puissances entieres ,**) , alors a_(k-1)²+c^3 est une puissance entiere .... a_1²+c^3 est une puissance entiere
donc il existe a et b ,entiers strictement positifs tel que :
c²(c+1) = a^b , comme pgcd(c²,c+1)=1 , il existe x et y , tel que ; xy=a , pgcd( x,y)=1 et c²=x^b , c+1= y^b , sans perte de généralité supposons que b est paire , remplçons le par 2b , alors c=x^b et :
1= y^(2b) - x^b = (y²-x)(..) , donc y²=x+1 , en substituant ,
(x+1)^b=x^b+1 , comme x est non nul ==>b=1 , alors c=y²-1 , avec y un entier >=1 , réciproquement , a_1²+c^3= y²(y²-1)² qui est une puissance entiere , QED ( sauf erreur)
en attendant la confirmation de si rachid

P.S : démonstration de (**)
supposons que xy= m^n , avec pgcd( x,y)=1, sot p un diviseur premier de m , alors p^n divise x ou bien y
mnt si m = prod ( pi^(bi)) , alors x= k*prod( p_k^(n*b_k)) , et y = k' *prod ( p_j^(n*b_j)) , avec prod( p_k^(b_k)) * prod( p_j^(b_j)) = prod( pi^(b_i)) = m , donc xy=kk'*m^n , donc k=k'=1 d'ou le résultat

Bonne réponse,si anas . Tu peux poster un nouveau problème !!

merci pr la confirmation , voci un joli ( facile ) problem

l'ensemble des entiers naturels strictement positifs est la réunion de deux sous ensembles disjointes notés respectivement
{f(1),f(2),......f(n)....} et {g(1),g(2)........g(n)..} vérifiant les conditions :
1) f(1)<f(2)<....f(n) <..
2) g(1)<g(2)<......g(n) <..
3) qlq soit n entier strictement positif , g( n)= fof(n)+1

determinez f(240)

neutrino a écrit:

merci pr la confirmation , voci un joli ( facile ) problem

l'ensemble des entiers naturels strictement positifs est la réunion de deux sous ensembles disjointes notés respectivement
{f(1),f(2),......f(n)....} et {g(1),g(2)........g(n)..} vérifiant les conditions :
1) f(1)<f(2)<....f(n) <..
2) g(1)<g(2)<......g(n) <..
3) qlq soit n entier strictement positif , g( n)= fof(n)+1

determinez f(240)

C'est un problème connu,tiré de l'IMO 1978.J'éspère que Anas va pouvoir le remplaçer par un autre.

OK Je change le pb

soit x,y,z des entiers >=0 , tel que xy=z²+1 , MQ : il existe des entiers ,a,b,c,d tel que :
x=a²+b² , y=d²+c² , z=ac+bd

salam ;

pour z il est évident qu'il existe a b c et d premiers vérifiant

z = ac + bd

==> ad-bc = 1 (d'apres Bezout )

==> z^2 + 1 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2

= (a^2 + b^2) (c^2 + d^2)

et puisque a ; b ;c et d sont premiers donc il sont premiers entre eux alors on peut pas factoriser ses deux termes
donc les seuls déviseurs de z^2 + 1

sont 1; a^2 + b^2 ; c^2 + d^2 et z^2 +1


==> x = 0^2 +1^2
ou x= a^2 + b^2
ou x = c^2 +d^2
ou x= z^2 + 1^2

et m^me chose pour y .
C.Q.F.D

sauf erreur bien entendu ...

On a d'aprés Bezout: ad-bc = 1
=> z^2 + 1 = (ac+bd)² + (ad-bc)²=a²c²+b²d²+a²d²+b²c² (1)
x=a²+b² , y=d²+c²
=> xy=a²d²+a²c²+b²d²+b²c² (2)
Donc: xy=z^2 + 1
Donc il existe des entiers a,b,c,d qui réalise l'énoncé.

Mr Marjani : qu'est ce que tu fais ?


Pour ma démonstration ; il a besoin de quelques précision :

je re :

on a xy = z^2+1
je suppose que :

x = z^2 +1 et y= 1 (ou x = 1 et y =z^2+1)
donc il existe a;b;c;d tel que
x=a²+b² , y=d²+c² , z=ac+bd
/ a= z ; b = 1 ; c = 1 et d = 0

sinon :
il existe des entiers premiers tel que :

z = ac + bd

==> ad-bc = 1 (d'apres Bezout )

==> z^2 + 1 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2

= (a^2 + b^2) (c^2 + d^2)

et puisque a ; b ;c et d sont premiers donc il sont premiers entre eux alors on peut pas factoriser ses deux termes
donc les seuls déviseurs de z^2 + 1

sont 1; a^2 + b^2 ; c^2 + d^2 et z^2 +1



ou x= a^2 + b^2
ou x = c^2 +d^2


et m^me chose pour y .
C.Q.F.D