Exercice TC tres difficile !!

Bonjour tout le monde,
Je suis un enelve du TC et jé participé aux olympiades et je suis arrivé a la finale.
Jé tt fé sauf un exo ki me tracasse depuis et jé pa encore trouvé de réponse.
Voila :
Soit un n un entier naturel non nul, et n est un nombre pair .
Démontrez que n(n+1)(n+2) est multiple de 12.
Et je crois que cé celui ci qui ma empeché de gagner.
Merci d'avance.

A= n(n+1)(n+2)
A est clairement divisible par 3 car cest le produit de trois nombrse successifs. Et puisque n est pair , n=2k on peut facilement demontrer que A est divisible par 4.
et comme 4 et 3 sont premier entre eux , on peut conclure ...

Comme vous n'avez pas etuidé les propriétés de divisibilité , tu peux tout simplement faire un tableau de restes!!

c une propriété que trois conseccusifs sont divisibles par trois?
Tu peux la démontrer stp

Cest assez elementaire , parce que les 3 restes possibles en division par 3 sont : 0 , 1 et 2
tu peux simplement faire une etude par cas (n=3k+1 ou n=3k+2 ou n=3k)
pour n=3k cest bon ...
pour n=3k+1 => n+2=3(k+1)
pour n=3k+1 => n+1=3(k+1)

bon on a n(n+1)(n+2) est divisible par 3 parce que c'est un produit de 3 nombres qui se suivent
et on a n est pair alors n=2k / k £N
puisque (n+1)(n+2) sont deux nombres qui se suivent , alors (n+1)(n+2)=2k' en multipliant on obtient n(n+1)(n+2)=4kk' c à dire divisible par 4 et puisque 4 et 3 sont premiers entre eux alors 4*3 divise n(n+1)(n+2) <==> 12 divise n(n+1)(n+2)
sinon on peut faire ac recurrence (la logique que tu vas voir l'année prochaine et la congruence dans l'arithmétique)

Merci bcp ...
Jé fini ts les exos en 1 heure.
Et l heure ki resté je me sui crevé la tete avec celui la mé jy sui pa arrivé .

dsl othmaann j'ai po vu ta réponse !

Mehdi.O a écrit:

Je suis un enelve du TC

Cette section du forum est réservé aux élèves de Terminale. Merci de choisir la section appropriée à son niveau.
Amicalement.

Désolé, je vien de créer mon compte hier, ce qui fait que je ne sui po encore habitué.
Ca ne se reproduira plus

Cordialement.

Soyez le bienvenue Mehdi !

Sinon voilà une petite solution pour ton probléme:

n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(2k²+3k+1)=3k' (1) (Le produit de 3 nombres divisible par 3)

Donc: k(2k²+3k+1)=3k'', Et par (1) tu remplaces, pour trouver que n(n+1)(n+2)=12k*k''.

Bonne chance.

Mercii.
C est extrememnt gentil de votre part

M.Marjani a écrit:

Soyez le bienvenue Mehdi !

Sinon voilà une petite solution pour ton probléme:

n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(2k²+3k+1)=3k' (1) (Le produit de 3 nombres divisible par 3)

Donc: k(2k²+3k+1)=3k'', Et par (1) tu remplaces, pour trouver que n(n+1)(n+2)=12k*k''.

Bonne chance.

Pour deduire ça , c'est faisable avec les outils du TC ?

Othmaann a écrit:

Pour deduire ça , c'est faisable avec les outils du TC ?

Normale
Cette exo n'était pas présent dans la phase académique, je ne sais pas comment.

parce que normalement cette déduction se fait avec le theoreme de gauss , alors qu'au TC meme la notion de primalité n'est pas abordé.

Eh oui cé le Maroc, tu peux t attendre a tout .

M ais avec la solutin que tu as proposé Othman é bcp plus plausible, celle du tableau de retse meme ne college onpeut la déduire

Othmaann a écrit:

parce que normalement cette déduction se fait avec le theoreme de gauss , alors qu'au TC meme la notion de primalité n'est pas abordé.

Pourquoi avec Gauss (ce gros nom pour une petite exo) xD
Voici une methode de TC, (ou bien du collége) qui l'a montre:
On est sur IN*, Et consédirant la suite suivant:
1*2*3
2*3*4
3*4*5
4*5*(3*2)

Remarquons d'abord, que dans chaque 3 nombre consécutifs, il y a toujours le nombre 3 qui est présent. Mathématiquement: 3k''=m==[3].
Donc le produit de trois nombres consécutifs, il est divisible par 3.

Je ne parle de ça , re-regarde mon post ci-dessus je parle plutot de la déduction :
4a=3k => a=3k'

Othmaann a écrit:

Je ne parle de ça , re-regarde mon post ci-dessus je parle plutot de la déduction :
4a=3k => a=3k'

Parce que vous avez dis la déduction, j'ai pensé au passage qui est avant.
Je l'ai déduit sans gauss, c'est simple: 2*2*a=3k, donc a dévisible par 3 et k=2k'' (2*2 pair, mais 3 impair, donc a contient un nombre impair qui est biensure 3, car 3k pair dans ce cas..).

Je ne pense pas que cela est logique , à moins que je me trompe ...
Evitons de s'etaler sur le sujet , si vous voulez etre plus explicite < mp

On veut démontrer que: 4a=2*2*a=3k (1) => a=3k', A(a,k)£ IN*
Vous voyez que 3k est pair, donc 3k=3*2*k''
Revenant à (1) et remplaçant: 2*2*a=2*3*k'' => 2a=3k'' (2), 3k'' pair ==> 3k''=2*3*k'''
Revenant à (2) et remplaçant: 2*3*k'''=2a ==> 3k'''=a

Othmane a dit que le raisonement est juste, donc voilà je collecte les réponses:

n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(2k²+3k+1)=3k' (1) (Le produit de 3 nombres divisible par 3)

On veut démontrer que: 4a=2*2*a=3k (1) => a=3k', A(a,k)£ IN*
Vous voyez que 3k est pair, donc 3k=3*2*k''
Revenant à (1) et remplaçant: 2*2*a=2*3*k'' => 2a=3k'' (2), 3k'' pair ==> 3k''=2*3*k'''
Revenant à (2) et remplaçant: 2*3*k'''=2a ==> 3k'''=a (Theoréme de Marjani )

Donc: k(2k²+3k+1)=3k'', Et par (1) tu remplaces, pour trouver que n(n+1)(n+2)=12k*k''.

Bonne chance à toi Mehdi.