Un peu de géométrie

je rappelle quelques résultats fondamentaux de la géométrie avant de poser un sweet exercice.

Rappel:

Application:
soit un ABC un triangle tel que R(a+b)=cV(ab), montrer que r<(3/10)*a.

Que veulent dire R(a+b) et V(ab) ?

je pense que R c'est le rayon du cercle circonscrit,
et cV(ab)= BC x √(ABxBC)
non?

R est le rayon du Cercle circonscrit, V est la racine.

R(a+b)=cV(ab) <=> R multiplie (a+b)= c multiplie la racine de ab.

Très joli problème.
On a d'après l'IAG : a+b >= 2sqrt(ab). Cela implique d'après l'hypothèse R(a+b)=c sqrt(ab) que c >= 2R, ou encore que c >= c/sinC, ce qui est équivalent à 1 >= 1/sinC. C appartient à [0,PI], donc cela est aussi équivalent à sinC >= 1. Or le sinus est toujours majoré par 1, donc sinC = 1. Par conséquent, C = PI/2, et le triangle ABC est alors rectangle en C.
Tout se simplifie alors. D'après la loi des sinus, il vient 2R = c, et ainsi, l'hypothèse de l'exercice devient équivalente à (a+b )/2 = sqrt(ab), c'est-à-dire, a=b. On en conclut que c=sqrt(a²+b²)=a*sqrt(2).
r<(3/10)a est équivalent à S/p < (3/10)a, équivalent à ab/(a+b+c) < (3/10)a, équivalent à 3(a+c)>7b, équivalent à 3a*sqrt(2) > 4a (car a=b=c/sqrt(2)), ce qui est vrai car 3sqrt(2) > 4.

t'es sur le bon chemin...

C'est édité.

et donc parfait!

Merci.
Pourquoi avoir choisi 3/10 ? 1/(2+sqrt(2)) est la meilleur constante (avec égalité, dans ce cas)

EDIT : quoique 1/(2+sqrt(2)) est très proche de 3/10.

oui tout à fait raison!

Bonjour, bonne retour Redouane.
* D'abord on a:R=c(a+b)/V(ab) => V(ab)/(a+b)=1/2Sin(C) (1), or par IAG on trouve (a+b)/V(ab)>=2, d'ou:
Sin(C)=(1/2)*(a+b)/V(ab)>=1. On sait que -1=<Sin(C)=<1, il vient que Sin(C)=1, donc C=Pi/2 çelà veut dire que ABC est rectangle en C, or R=c /2Sin(C) donc c=2R.

* D'autre part, r=2S/(a+b+c) implique que r=(ac*Sin(B))/(a+b+c). Mais R=b/2*Sin(B), donc Sin(B)=b/2R, de ce qui précede on aura: r=(abc)/(2R(a+b+c))=ab/(a+b+c). Et par (1) on résulte que (a-b)²=0 donc a=b=V2c/2.

r=ab/(a+b+c)=a²/((2a+V2)=a/(2+V2)<(3/10)a, D'ou r<(3/10)a.

Merçi.

jolie solution M marjani