Avec une prise de recul, je me rends compte que l'exposition ainsi que la démonstration que j'ai auparavant fournie au deuxième problème ci-joint étaient exagérément tordues. Je vous propose une interprétation simplifiée.
Reformulé, le problème sonne ainsi : montrer que tout entier naturel non nul est décomposable en une somme de longueur arbitraire de nombres de Lucas, pris sans répétition.
Sous cette forme présenté, je l'ouvre de nouveau à vous ?
Un résultat analogue concernant les nombres de Fiabonacci est connu sous le nom du théorème de Zeckendorf's
Pour en savoir plus :
- http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Lucas
- http://en.wikipedia.org/wiki/Zeckendorf%27s_theorem.
- http://mathworld.wolfram.com/ZeckendorfsTheorem.html
- http://mathworld.wolfram.com/CompleteSequence.html
Ma solution d'antan :
- Spoiler:
EDIT 1 : cette décomposition n'est pas unique. 3 = L_2 = L_0 + L_1 (L_n désigne le nième nombre de Lucas). Je conjecture que l'unicité a lieu si, de la même façon que dans le théorème de Zeckendorf, l'hypothèse consistant à ne pas prendre deux nombres de Lucas consécutifs est prise en compte.
EDIT 2 : même sous cette hypothèse, l'unicité n'a pas lieu : 5 = L_0 + L_2 = L_1 + L_3. Comme complément au problème, il peut être fructueux de rechercher des critères d'unicité de la décomposition.
EDIT 3 : reformulé de plus belle, le problème courant est : la suite de Lucas est complète, et elle l'est même si elle est restreinte à ses sous-suites ne contenant pas deux nombres de Lucas d'
indices consécutifs.
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