des questions

.

j'ai des question et je veux savoir votre idées

1** comment prouver que la methode de récurrence est vrai

2**comment prouver la théorème de héron sans des relations trigonométrique


.merci

ayoubmath a écrit:

1** comment prouver que la methode de récurrence est vrai

Cela dépend de l'axiomatisation que vous donnez à IN. Dans l'axiomatique de Peano, il est admis en tant qu'axiome.

Que voulez-vous dire.....

la récurrence n'e pas un Axiome c'est un theoreme qu'il faut le prouver Mathématiquement

merci

ayoubmath a écrit:

Que voulez-vous dire.....

la récurrence n'e pas un Axiome c'est un theoreme qu'il faut le prouver Mathématiquement

merci

C'est un principe intimement lié à la structure de IN. Pour en donner une preuve, il faut connaître l'axiomatique utilisée.
Le manuel de première année sciences mathématiques présente par exemple une démonstration qui repose sur le plus petit élément d'une partie non vide de IN, qui est supposé existant d'après l'axiomatique.

Savez-vous cette démonstration expliquer la svp

Montrons que si P(0) est vraie et que P(n)=>P(n+1) est vraie, alors P(n) est vraie pour tout n de IN.
Supposons que P(0) est vraie et que P(n)=>P(n+1) est vraie. Soit E l'ensemble des entiers naturels pour qui P(n) est fausse. L'objectif est de montrer qu'alors, l'ensemble E est vide. Par l'absurde, supposons qu'il est non vide. Etant une partie non vide de IN, E contient naturellement un plus petit élément, notons le a. P(0) est vraie d'après l'hypothèse, donc 0 n'est pas un élément de E. Par conséquent, a-1>=0. P(a-1) est donc défini, et a-1 n'appartient pas à E, car a est le plus petit élément de E. Ainsi, P(a-1) est vraie. Par hypothèse d'hérédité, P(a) est vraie aussi. Contradiction : l'ensemble E n'est pas non vide, i.e., il est vide.

mais le cas de n>0

Bon je vais essayé de t'expliquer un peu plus explicitement .
Les nombre naturel contrairement aux relatif et aux réel se succedent de manière assez linéaire , on peut les comparé a une suite arithmétique de raison 1 , c'est sur cela qu'est fondé la récurrence, quand tu démontre qu'un proposition est juste pour le plus petit nombre d'un ensemble de IN, et que tu démontre que P(n)=>P(n+1) alors tu n'aura pas besoin de démontré tout les P(n+k) .
Par exemple supposons qu'on a un pont constitué de plusieurs plaquent , on veut montrer que toute les plaques sont solides , au lieu de vérifié chaque plaque , on peut démontre que la première est solide est que si une plaque est solide alors celle qui la suit l'est forcément , ceci nous donnera 0==>1==>2==>3 ....
j'esper que tu voies ce que je veux dire ^^

Amicalement !

.

Code:

merci darkpseudo j'ai bien compris votre joli idee

et ramadan mobark pour tous les membres