Calcul de la somme d'une série

Trouver la valeur de :

sum(k=1;k=+inf) { 1/k² }

sum(k=1;k=+inf) { 1/k }

bonne chance

Trouver :

: La série harmonique diverge ?

Dijkschneier a écrit:

: La série harmonique diverge ?

Oui, en effet.
Une méthode trouvée à la hâte, on a :



Et donc, avec l'Inégalité Arithmético-Géométrique :



Ce qui fait :



Et puisque:


(Avec du travail, cette limite, quand même)
Le résultat en découle.

; Je pourrais avoir stp une explication sur cette inégalité ?

Pour ce qui est de la limite , voici une méthode ou l'ecriture fait peur mais la méthode est assez simple :

Merci.

il y a une manière plus simple, en la comparant avec la fonction ln ...

hypermb a écrit:

il y a une manière plus simple, en la comparant avec la fonction ln ...

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_harmonique#D.C3.A9monstrations_de_divergence

Le résultat ne me parait pas logique , mais je poste quand meme :


En sommant , on remarque le phénomène de téléscopie ce qui donne :



On en deduit que la limite est égal à 1.
Il me semble qu'il y'a une petite erreur que je n'arrive pas à déterminer!

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Othmane !!

Tes deuix premières lignes sont tout à fait JUSTES ..
Il y a seulement qu'il faut FAIRE ATTENTION quand tu fais la somme membre à membre .... il faut comencer à partir de k=2 car si k=1 le terme (1/(k-1)) n'est pas défini .....
Il y a bien un phénomène de télescopie .

A titre d'informetion , la somme de cette série ( de RIEMANN d'exposant alpha=2 ) est (Pi)^2/6
donc ton résultat est faux .

Amicalement . LHASSANE

C'est exact , donc avec cette méthode on peut à peine conclure un encadrement de la limite.
Y'a-t-il une méthode de notre niveau pour la calculer ?

Othmaann a écrit:

C'est exact , donc avec cette méthode on peut à peine conclure un encadrement de la limite.
Y'a-t-il une méthode de notre niveau pour la calculer ?

BJR Othmane !!

A Votre niveau , tout ce que Vous pouvez faire c'est :
1) Prouver que la série Converge ...
La suite ( Sn=SIGMA( k=1 à n ; 1/k^2 ))n est Croissante et Majorée
2) Elle converge donc et grace à ton encadrement , tu obtiens un concernant la LIMITE de (Sn)n qui est la somme de la Série ...

Pour calculer cette Somme , il y a des exos ou celà est traité MAIS c'est du Niveau Prépas ou 1ère Année Fac .

Amicalement. LHASSANE

Pr la 2ème somme il y a une méthode niveau lycée :

hypermb a écrit:

Pr la 2ème somme il y a une méthode niveau lycée :

BJR Mounir !!

Juste Juste !!
Penses-tu que les Intégrales de WALLIS sont vues en Terminales ???

Enfin , chacun sa manière de penser .....

Amicalement . LHASSANE

PS : Je posterais dans le Salon des Prépas , Section Analyse , une méthode appropriée .

J'ai essayé voila ce que ca donne :

1/ Je procède par récurrence. pour n=0 il est clair que I_{0] = pi/2
Soit de n de N on suppose que :
On cherche à montrer que :

On a :


On procède donc à une integration par partie tel que :



Et donc :

C'est à dire que

Revenons à notre récurrence donc d'après notre supposition :

Apres des calculs on arrive au resultat voulu. C'etait cela pour la premiere question , je reviens pour le reste.

voilà .. si vous souhaitez faire une autre démonstration sans utiliser de récurrence, rendez-vous sur la page :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grales_de_Wallis
il s'agit d'une méthode classique .. je suis d'accord LHASSANE qu'ils n'ont pas fait l'integral de wallis, mais c'est l'occasion de le voir (qui sait, peut être ça va être le sujet du bac 2011 )

Amicalement . Mounir

Il y'a aussi une méthode pour prouver que la série de la fonction zêta de Riemann d'exposant 2, admet pour limite pi^2/6. Elle figure dans le livre "Démonstrations divines", si quelqu'un est intéréssé, qu'il fasse signe, je la posterai.

Un article sur le même sujet : http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cillerue/Curso/zeta2.pdf

Dijkschneier a écrit:

Un article sur le même sujet : http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cillerue/Curso/zeta2.pdf

La démonstration dont je parle est accomodée au niveau TerSM, en évitant d'utiliser les intégrales doubles.

Je suis intéressé personnellement , si tu pouvais la poster ce serait très bien =)

BSR à Toutes et Tous !!

Saha Ftourkoum !!

J'avais proposé dans ce Lien:

https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/calcul-de-la-somme-de-la-serie-de-riemann-alpha2--t16366.htm

Une méthode basée sur de la trigonométrie Pure pour calculer cette Somme ....
Mais , à mon grand regret , celà n'a intéressé personne ??!!??

Amicalement . LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

BSR à Toutes et Tous !!

Saha Ftourkoum !!

J'avais proposé dans ce Lien:

https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/calcul-de-la-somme-de-la-serie-de-riemann-alpha2--t16366.htm

Une méthode basée sur de la trigonométrie Pure pour calculer cette Somme ....
Mais , à mon grand regret , celà n'a intéressé personne ??!!??

Amicalement . LHASSANE

C'est à peu près la même méthode dont je parle, bien vu.