Calcul de la Somme de la Série de Riemann ( alpha=2 ) ....

BSR à Toutes et Tous !!

Voici , comme promis dans ce Topic

https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/calcul-de-la-somme-d-une-serie-t16350.htm#139338

et sous forme d'exercice , une manière de calculer la SOMME de la SERIE de RIEMANN d'exposant 2 soit :



Soit a un réel tel que tout ce qui est écrit , ci-dessous , ait un sens ....

1) Calculer en fonction de

l'expression


2) En déduire la valeur de


3) Trouver la limite de la suite de terme général

et par la même occasion , en déduire la limite de celle-ci dont le terme général est



Amicalement . LHASSANE

appliqué t simlement séres de fourier

Bonjour , pour la première question je ne suis pas arriver à conjecturer le résultat pour le démontrer par récurrence. Je pensais m'être tromper dans les calculs mais apparemment non donc je vous propose mon début de travail en attendant un peu d'aide.


On remarque que le premier terme du polynôme est ncot^{n-1)(a) mais pour le reste je sèche ...

BJR Othmane !!

Je te donne des indications ....
Penser à :
exp(i.x)=COS(x) + i.SIN(x) et l'autre en changeant x en -x
Qui te donnera SIN(x)=(1/2i).{ exp(i.x) - exp(-i.x)}

Ensuite , faire x=n.a , de cette manière tu seras amené à utiliser la Formule de MOIVRE :
exp(i.n.a)={COS(a) + i.SIN(a)}^n
puis la Formule du Binôme de NEWTON qui te conduira à une expression intéressante de
SIN(n.a) qui te permettra de finaliser pour cette 1ère Question !!

Et c'est à Toi de Jouer .....

Amicalement & Saha Ftourkoum .....

LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

BJR Othmane !!

Je te donne des indications ....
Penser à :
exp(i.x)=COS(x) + i.SIN(x) et l'autre en changeant x en -x
Qui te donnera SIN(x)=(1/2i).{ exp(i.x) - exp(-i.x)}

Ensuite , faire x=n.a ......

LHASSANE

BSR à Toutes et Tous !!

Mon Topic que Voici à l'air de ressembler à ceux-là :

https://mathsmaroc.jeun.fr/questions-reponses-f31/

Topics initiés par Mr A.ATTIOUI , Co-Admin du Forum ;
A la seule différence c'est que Moi , Je n'interdis à personne d'y intervenir !!!
Un TOPIC VERROUILLE ??? Celà n'a pas de sens , c'est un MONOLOGUE tout net !!

On a SIN(n.a)=(1/2i).{ exp(i.n.a) - exp(-i.n.a)}=IM{exp(i.n.a)}
En outre selon les Formules de MOIVRE et NEWTON :
exp(i.n.a)= SIGMA { k=0 à n ; i^(k).C(n;k).(SIN(a))^(k).(COS(a))^(n-k) }

Si on note p=E((n-1)/2) alors 2.p+1 est le plus GRAND entier IMPAIR plus petit ou égal à n .

et alors :

SIN(n.a)= SIGMA {t=0 à p ; (-1)^t.C(n;2.t+1).(SIN(a))^(2.t+1).(COS(a))^(n-2.t-1)}
= (SIN(a))^n . SIGMA {t=0 à p ; (-1)^t.C(n;2.t+1).(COTAN(a))^(n-2.t-1)}

Maintenant , c'est terminé !!
Si on pose Pn(X)= SIGMA {t=0 à p ; (-1)^t.C(n;2.t+1).X^(n-2.t-1)}
= C(n;1).X^(n-1) - C(n;3).X^(n-3) + C(n;5).X^(n-5) + ...... + (-1)^p.C(n;2.p+1).X^(n-2.p-1)
Alors {SIN(n.a)}/{(SIN(a))^n} = Pn(COTAN(a))


Un Cas Particulièrement Intéressant pour la suite de l'exercice , c'est lorsque n est IMPAIR
n=2.m+1 auquel cas p=m
Alors si on pose Rn(X)= SIGMA {t=0 à m ; (-1)^t.C(2.m+1;2.t+1).X^(m-t)}
on aura {SIN(n.a)}/{(SIN(a))^n} = Rn((COTAN(a))^2)

Amicalement. LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

BSR à Toutes et Tous !!
[...]
On a SIN(n.a)=(1/2i).{ exp(i.n.a) - exp(-i.n.a)}=IM{exp(i.n.a)}
En outre selon les Formules de MOIVRE et NEWTON :

Si on note p=E((n-1)/2) alors 2.p+1 est le plus GRAND entier IMPAIR plus petit ou égal à n .

et alors :



Maintenant , c'est terminé !!
Si on pose


Alors


Un Cas Particulièrement Intéressant pour la suite de l'exercice , c'est lorsque n est IMPAIR
n=2.m+1 auquel cas p=m
Alors si on pose

on aura {SIN(n.a)}/{(SIN(a))^n} = Rn((COTAN(a))^2)

Amicalement. LHASSANE

J'ai repris en mettant les formules sous Latex , je n'arrivais pas trop à me concentrer sans alors je lai fait pour moi donc je fais en profiter les autres. Jespere que ça ne vous derange pas!!
Merci en tous cas , j'ai une idée pour le reste je la posterai au plus tôt.

Bonsoir , dans la deuxième question on pourra utiliser , la formule de la somme des racines d'un polynôme. Je suis toujours en train de chercher comment conclure ...