Somme d'une série

il suffit 'evaluer la somme a l'interieure =b^n.( suite geometique de raison (a/b) )! puis une autre somme apparaitra ( geometrique aussi ) !

oui self cette somme est tros facile

j'ai posé cet exercice pour montrer l'utilité d'un théorème ... regardez cette série, elle a pourtant le mm degré de difficulté que celle posté là dessus :

c'est 0

non, c'est pas 0

alors je corrige ?

c'est 1 ! terme constant. On pourra utiliser aussi le produit de Cauchy

c'est ça !
par le theoreme concernant le produit de 2 séries absolument convergentes, on trouve que la somme = e x 1/e = 1

Bon , je crois que cet exercice est dans tout cours de MP* , c'est une application directe de produit de Cauchy :

On sait que (suma_n).(sum(b_n.) = sumc_n avec

c_n = sum(a_k.b-(n-k), k=0...n) lorsque les série de TG a_n et b_n sont absolument convergente.

La première application importante de ce théorème, c'est de montrer que exp(a+b) = expa.expb

Pour l'exercice, si on pose a_n = a^n et b_n = b^n
Comme max(|a|,|b|)<1 les séries géométriques convergent absolument et on a :

sum(a_n).sum(b_n) = sum(c_n) avec c_n = sum(a^k.b^(n-k))

notre somme vaut donc 1/((1-a)(1-b))

Pour la deuxième somme a_n = 1/n! et b_n = (-1)^n/n!
On sait que ces deux sommes convergent absolument vers e et 1/e et on a donc :

1 = e.(1/e) = sum(a_n).sum(b_n) = sum(c_n)

avec c_n = sum((-1)^(n-k)/k!(n-k)!, k=0...n) somme demandée

jolie solution!

merci
La formule est aussi valable pour les série entières :
pour tout complexe x tel que |x|< min(R1, R2) avec R1 et R2 les rayons de convergence respectifs des séries de TG a_n et b_n :

sum(a_n.x^n).sum(b_n.x^n) = sum(c_n.x^n)

avec c_n = sum(a_k.b_(n-k), k=0...n ) = sum(a_l.b_i, l+i=n)

je donne encore une application souvent utile pour les série entière et presque à retenir par coeur :

soit (a_n) une suite et le considère (A_n) = (sum(a_k, k=0...n)) la série de TG a_n et de rayon de convergence R. On a l'identité :

(1-x)sum(A_n.x^n) = sum(a_n.x^n)

pour tout complexe x tel que |x|<min(R,1).