automorphisme

soit G un groupe fini , supposons qu'il existe un automorphisme T de G , telque T²=Id , et T(x )=x <=> x=e , MQ G est abélien

boujmi3 a écrit:

soit G un groupe fini , supposons qu'il existe
un automorphisme T de G , telque T²=Id , et T(x )=x <=> x=e , MQ G est abélien

BSR boujmi3 !!!

En Live toujours ...
Soient a et b deux éléments quelconques de G
Montrons que a.b=b.a ce qui est équivalent à b^(-1).{a.b}.a^(-1)=e
Posons alors x=b^(-1).{a.b}.a^(-1)
Si on arrive à montrer que T(x)=x alors ce sera réglé puisque par hypothèse celà impliquera que x=e

On a T(x)=T{b^(-1).{a.b}.a^(-1)}
du fait des propriétés d'homomorphisme de T , on aura
T(x)=T{b^(-1).{a.b}.a^(-1)=T(b^(-1)).{T(a).T(b)}.T((a)^(-1))
Appliquons de nouveau T à cette égalité en tenant compte que T²=Id , alors il vient que :
T(T(x))=x= T²(b^(-1)).{T²(a).T²(b)}.T²((a)^(-1))=b^(-1).{a.b}.a^(-1)=x

et c'est tout .....

Amicalement. LHASSANE

BSR Bison-futé, je ne vois pas comment vous avez demontré que T(x )=x , veuillez eclaircir s'il vous plait ,

boujmi3 a écrit:

BSR Bison-futé, je ne vois pas comment vous avez demontré que T(x )=x , veuillez eclaircir s'il vous plait ,

BSR boujmi3 !!

OUI , Tu as raison !
Je n'ai rien prouvé en fait , j'ai seulement INSTALLE une démarche ....
C'était là le risque du travail en direct ....
Je vais réfléchir un peu plus !!

a+++ LHASSANE

Essayez de voir que chaque element de G s'ecrit sous forme de x^(-1)T(x)

Bonjour ;

d'une part l'application G ---> G , x --> x^(-1).T(x) est injective
vu que x^(-1).T(x) = y^(-1).T(y) <=> T(xy^(-1)) = xy^(-1) <=> xy^(-1) = e <=> x = y

et d'une autre G étant fini cette application est en fait bijective .

pour a£G écrivons a^(-1)=x^(-1).T(x)
il vient alors T(a) = T(T(x^(-1)).x) = x^(-1).T(x) = a^(-1) sauf erreur bien entendu

et ainsi pour tous u,v£G on a : uv = T((uv)^(-1)) = T(v^(-1).u^(-1)) = T(v^(-1)). T(u^(-1)) = vu .

remarquer qu'en plus , un tel groupe est nécessairement d'ordre impair ! sauf erreur bien entendu

elhor_abdelali a écrit:

et ainsi pour tous u,v£G on a : uv = T((uv)^(-1)) = T(v^(-1).u^(-1)) = T(v^(-1)). T(u^(-1)) = vu .

remarquer qu'en plus , un tel groupe est nécessairement d'ordre impair ! sauf erreur bien entendu

SLT , aid mobarak said

oui evidemment puisque si l'ordre est paire , il existe un x<>e tel que x²=e ==> T a un point fixe different de e , Merci..

Merci et à vous de même Aid Moubarak Said !