2eme Kholle EVN

soit T : ([0,1],R)---->([0,1],R)
f ----------> (x--->Int(f,0..x) )
Prouver que T est continue et calculer sa norme subordonné.

Indication:

p.s :Int(f,0..x) cad integrale de f de 0 à x

D'abord il faut fixer une norme sur l'e.v.n de dimension infinie E=C([0,1],R)

comme (0,1] est compact , je pense qu'il s'agit de la norme uniforme .

Soit f€E , ||T(f)||=sup {|Int(f,0..x)| /x€[0,1]}=<||f|| ==> ||T||<=1 ==> T continue

f_n(t)=1+t^n

T(f_n)(x)= x+x^(n+1)/(n+1) ==> ||T(f_n)||=1+1/(n+1) --->1 ===>||T||=1

Sauf erreur

oui j'ai du oublié de mentionner que c'était la norme uniforme.
c'est ça par le choix judicieux de (f_n) vous évitez les grands calculs.

salam,
il suffit de monter que ||T(f)||=<alfa||f||.tel que alfa est dans le cours K, alfa ne dépend pas de x.
les calcules sont bien détaillés par abdelbaki

tanmirt