Différence entre élement maximal et Max d'un ensemble.

Bonjour,

Je n'arrive vraiment pas à comprendre la relation entre l'élément max, et le max ( resp élément min et l'inf )
Ce que j'ai sû d'après le cours, c'est quand la relation d'ordre est totale alors l'élément maximal est le Max.. Mais dans les relation d'ordre partiels, quelle est la différence s'il vous plait ? Pourriez-vous m'illustrer ça avec des exemples très simples.. Parce que je suis vraiment très perdu (

Merci à vous tous !

Le sup d'un ensemble (borne supérieure) est le plus petit majorant de l'ensemble( de tous les majorants de l'ensemble il est le plus petit et pour cela tu as la caractérisation avec les epsilon)
Il peut appartenir ou pas à ton ensemble.
Qd il est atteint, ie qd il appartient à l'ensemble on dit que la borne est atteinte et il est appelé max de l'ensemble.
Pareil: inf est le plusgrand minorant et min c qd c atteint

Bonjour:

Ta reponse callo et loin de la question posée par Phi

Tu as répondu à propos de la différence entre la borne supérieure et le plus grand élément alors que lui, il pose la question sur la difference entre le plus grand élément et l'élément maximal .


Je vais donc illustrer à Phi à l'aide d'un exemple son problème afin de le situer un peu ...

Soit A ={1,2,3} et E =P(A)

on muni E de la relation c (inclusion)

Soit F={Vide ,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{3,1}}

on remarque que {1,2} est un élément maximal de F parce qu'il n y a pas dans F
un majorant de F qui est strictement contenu dans {1,2}.
Il n y a pas que {1,2} comme élément maximal de f mais aussi :{2,3} et {3,1}

Par contre le seul élément maximal de E est A et c'est aussi la borne sup et le plus grand élément.


Un autre exemple :

E={2,3,4,5} muni de la relation ''a divise b''
Pas de majorant
Pas de sup
pas de max
mais 3 , 4 et 5 sont chacun un élément maximal de E car

forall x \in E 3|x implique x=3
forall x \in E 4|x implique x=4
forall x \in E 5|x implique x=5

2 n'est pas un élément maximal de E car 2|4 et 2 \neq 4

BSR à Toutes et Tous !!
BSR Mohamed !!

Excuse-moi de te répondre .
Dans la situation que tu considères à savoir N*\{1} muni de la Relation d'Odre de la Divisibilité Ordinaire , c'est déjà un BON ESPACE de travail non standart ( celà change beaucoup de IR avec son Ordre Habituel dans lequel l'intuition fonctionne ...... )

Il me semble que les seuls Elements Maximaux sont les entiers PREMIERS
et donc à ce titre 2 est MAXIMAL

a est maximal si b dans E et b<=a ALORS b=a

Amicalement . LHASSANE

Bonsoir

Bonsoir Lhassane

Bison_Fûté a écrit:

Dans la situation que tu considères à savoir N*\{1}

Je n'ai nulle part considéré cet exemple !!! à moins que je me trompe ...

BSr Mohamed !!

C'est pareil , Tu as pris :

<< E={2,3,4,5} muni de la relation ''a divise b''
...
2 n'est pas un élément maximal de E car 2|4 et 2 \neq 4 >>

C'est un sous-ensemble Ordonné de IN*\{1} pour la relation DIVISE ...
Les élements MAXIMAUX sont bien 2,3 et 5

Amicalement . LHASSANE

Bonsoir Lhassane

4 est aussi un élément maximal de E mais pas de IN

BSR Mohamed

4 n'est pas MAXIMAL ni dans E , ni dans IN\{0;1}

En effet un élément MAXIMAL b dans un ensemble ordonné {F;<=} est caractérisé par la chose suivante :
Si a est dans F et a<=b ALORS a=b

Or dans ton exemple , 2 divise 4 MAIS 2<>4

Les éléments MAXIMAUX pour la relation DIVISE dans IN\{0;1} ou tout sous -ensemble de celui-ci sont les entiers PREMIERS

Tu devines très bien pourquoi on a écarté l'entier 1 de l'histoire .....

Amicalement . LHASSANE

Bonsoir Lhassan

La définition que je connais d'un élément maximal est la suivante

(E,R) un ensemble ordonné et b € E

alors b est un élément maximal de (E,R) si

pour tout x€ E si b R x alors x=b

Ce que tu as donné comme définition est pour moi (à ma connaissance) celle d'un élément minimal.

BSR Mohamed !

Autant pour Moi !!
Tu as en effet RAISON ....... Des Neuronnes se sont croisés dans Mon Cerveau et on provoqué cette Bévue ....
Les Entiers Premiers sont bien des éléments minimaux pour DIVISE !!!

Amicalement . LHASSANE

Bonsoir Lhassane

Ne t'en fait pas !!!

Par conséquent les entiers premiers sont des éléments max pour la relation

a R b si b divise a

a R b veut dire aussi aIN C bIN

Tu vois qu'avec l'inclusion les choes sont compatibles ....


Bonne nuit

BJR Mohamed !!

C'est celà ... En inversant la Relation d'Ordre , le MAX et le MIN s'échangent .
Par ailleurs , celà ne présente aucun inconvénient pour Moi de me tromper .... Le Droit à l'Erreur est universellement reconnu et accepté . Lorsque j'enseignais à la Fac et qu'il m'arrivait de me tromper , eh bien je me rectifiais souvent les séances suivantes et mes élèves , bien au contraire , avaient beaucoup de considération et de respect pour Moi .

Il est bien plus grave de ne pas se rectifier et reconnaitre ses erreurs car :
L'ERREUR est HUMAINE et la PERFECTION du ressort du DIVIN .


Bonne Journée à Toi . LHASSANE

PS : reconnaitre ses erreurs est un signe d'humilité .

Merci Monsieur Mohamed, j'arrive à capter le principe. Dans vos exemples on a constaté l'existence d'éléments maximaux qui ne sont pas comparables entre eux, alors cela explique l'absence de l'unicité de l'élément max, contrairement au Max.
Notons qu'on peut confondre les deux notions dans les relations d'ordre total.


Merci pour votre aide !

Bonsoir

Bien vu Phi !!!

je t'en prie.