besoin d'aide svp

soient a et b deux nombres réels strictement positifs
a) démontrez que: a+b=1 =>(a²+b²>=1/2)²et(ab=<1/4)
b) en déduire que: a+b=1 =>(a+1/a)²+(b+1/b)²>=25/2
c)démontrez que: quelque soit a et b appartenant à IR*²+ ;[a/(a+b)+a/b+1]²+[a/(a+b)+b/a+1]²>=25/2
d)démontrez que: quelque soit x appartenant à l'intervalle ]0,3.14/2[:[cos^4 x+1/cos² x]²+[sin^4x+1/sin²x]²>=25/2

salam

1) forme canonique

a²+b² = a²+(1-a)² = 2a²-2a+1 = 2(a-1/2)² + 1/2 > 1/2

ab = a(1-a) = -a²+a = 1/4-(a-1)² < 1/4.

2) (a+1/a)² + (b+1/b)² = a²+b² + (a²+b²)/a²b² + 4 > 1/2 + 1/2.16 +4 = 25/2

3) remarque :

A=a/(a+b) , B= b/(a+b) =====> A+B=1

(A+1/A)² + (B+1/B)² > 25/2

4) appliquer 2) pour a=cos²x et b=sin²x

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merci

mais pourquoi 2a²-2a+1 = 2(a-1/2)² + 1/2 > 1/2 dans la question a)
et -a²+a = 1/4-(a-1)² < 1/4 dans b)??

La premiére question est tout simplement une application de (a-b)²>=0 :

(a-b)²>=0 <=> a+b >= 2V(ab) => ab =< 1/4 ==> -ab >= -1/4 (1)
(a+b)² = a²+b²+2ab <=> 1-2ab=a²+b² => a²+b² >= 1- 1/2 (par (1)) <=> a²+b²>=1/2

houssa a écrit:

salam

3) remarque :

A=a/(a+b) , B= b/(a+b) =====> A+B=1

(A+1/A)² + (B+1/B)² > 25/2

T'as trompé Mr Houssam en croyant que ( a/(a+b) + a/b +1)² + ( a/(a+b) + b/a +1)² s'écrit sous forme de:
( A + 1/A)² + (B + 1/B)²
Plutot ( a/(a+b) + a/b +1)² + ( a/(a+b) + b/a +1)² sera égale à (A + 1/B)² + ( A + 1/A)²
Sinon l'enoncé du 2éme exercise est fausse? Plutot ;[b/(a+b)+a/b+1]²+[a/(a+b)+b/a+1]²>=25/2 je suppose.