A=....

salam all

حدد بتفصيل المجموعة التالية

A={(x,y}E Z² ;x²+xy-2y+5=0}

qui peut m'expliquer la question d'abord ?
est ce que normalement on doit trouver les couples x et y pour lesquels l'équation x²+xy-2y+5=0 reste juste?
si c ça alors moi j trouver les couples (1,2);(-1;-2);(3,-2);(-3;2)

yumi a écrit:

salam all
[b]
حدد بتفصيل المجموعة التالية

A={(x,y}E Z² ;x²+xy-2y+5=0}

qui peut m'expliquer la quetsion d'abord svp ?
est ce que normalement on doit trouver les couples x et y pour lesquels l'équation x²+xy-2y+5=0 reste juste?

C'est à peu près ça. Il s'agit de trouver les couples (x,y) appartenant à Z² et vérifiant : x²+xy-2y+5=0.

yumi a écrit:

si c ça alors moi j trouver deux couples (2;3),(-2;-3)

Non. Les deux couples que tu proposes ne marchent pas.

Solution :
Soit (x,y) de A.
Alors x et y sont deux entiers relatifs vérifiant : x²+xy-2y²+5=0.
Si x était pair, alors x²+xy-2y²+5 serait impair, et ne pourrait donc pas être nul.
Ainsi, x est impair.
Si maintenant y était pair, alors x²+xy-2y²+5 serait impair, et ne pourrait donc pas être nul.
Ainsi, x est impair tandis que y est pair.
Par conséquent :


Par suite,
On sait par ailleurs que x'(x'+1) est pair.
Et la somme étant nulle, donc paire, on a nécessairement que y'(2x'+1) est impair, c'est-à-dire que y' est impair.
Par conséquent :
Considérons maintenant l'équation x²+xy-2y²+5=0 d'inconnue x et de paramètre y.


Si , alors l'équation n'aurait pas de solution, et le couple (x,y) n'existerait pas.
Ainsi, .
Par conséquent, .
Et puisque on a établi que , alors .
Par suite, .
Et puisque x est un entier relatif, alors est un entier naturel.
Et on sait que .
Donc |3(2y''+1)|=3, c'est-à-dire que y''=0 ou y''=-1.
On en déduit que y=2(2y''+1), et que .
Inversement, les couples (3,-2), (-1,-2), (1,2) et (-3,2) appartiennent à A.
Donc A = {(3,-2), (-1,-2), (1,2), (-3,2)}.

Comment ça:

"alors moi j trouver deux couples (2;3),(-2;-3)"

"Inversement, les couples (1,2) et (-3,2) appartiennent à A.
Donc A = {(1,2),(-3,2)}."

?!

Non, mais ç'est impossible ! Car: x²+xy-2y+5=0 <=> y(-x+2)=x²+5 >= 5
Puisque y(2-x) > 0 donc il y aurait deux cas, le cas ou y>0 et 2>x , le cas ou y<0 et x>2 (1)

Ce qui rend les 2 solutions de Yumi impossibles, et une solution de Dijkschneier. (-3,2) aussi n'est pas un couple solution en remplaçant.

On suppose par l'absurde que x=2 est une solution, donc x²+xy-2y+5=0 => 4+2y-2y+5=0 ==> Absurde.
D'ou x=/2. Alors on peut dire maintenant que: y=(x²+5)/(2-x)

On peut voir que (x²+5)/(2-x) >= 2 <=> x²+5-4+2x >= 0 <=> (x+1)² >= 0 ce qui est vrai ! Donc y>=2 ce qui rend x<2 d'aprés (1)

Jusqu'à maintenant on peut inspirer de y=(x²+5)/(2-x) (avec y=2) que S_1={-1,2}
On peut voir également que y=(x²+5)/(2-x) £ IN*-{1,2} (2 annuler car on l'a trouvé)

Il y a eu quiproquo. C'est soit qu'on parle de x²+xy-2y²+5=0 ou bien de x²+xy-2y+5=0.
J'ai travaillé, en ce qui me concerne, sur la première, et cela me semble l'essence du problème.

Dijkschneier a écrit:

Il y a eu quiproquo. C'est soit qu'on parle de x²+xy-2y²+5=0 ou bien de x²+xy-2y+5=0.
J'ai travaillé, en ce qui me concerne, sur la première, et cela me semble l'essence du problème.

Ahoui.
C'est bien ton effort en tout cas de travailler sur x²+xy-2y²+5=0. On la considére une solution d'un probléme.

C'est ça Yumi uen simple factorisation et le coup est joué ...
Pas la peine d'aller plus loin !

wé merci mehdio

et au fait oui t'as raison dijkshneier c pas 2 couples mais 4
c seulement que je me suis trompée dans le calcul voilà j corrigé dans l'énoncé
merci pr vos réponses
bonne nuit à vous tous
salam

yumi a écrit:

et au fait oui t'as raison dijkshneier c pas 2 couples mais 4
c seulement que je me suis trompée dans le calcul voilà j corrigé dans l'énoncé
merci pr vos réponses
bonne nuit à vous tous
salam

Il faut corriger A={(x,y}E Z² ;x²+xy-2y+5=0} plutot ...

salam

je ne vois pas dans l'énoncé que x ,y E Z²

-------------------------

dans IR²: il s'agit (x,y) coord de points M appartenant à la réunion de 2 courbes.

-2y² + xy + x²-5 = 0

delta= 9x²-4 ===> |x|>= 4/9

y' = (x+V(9x²-4))/4 et y" = (x-V(9x²-4))/4

________________

bah voilà l'énoncé
حدد بتفصيل المجموعة التالية

A={(x,y}E Z² ; x²+xy-2y+5=0}

donc (x;y) E Z².....
et pr Houssa et Marjani j'arrive pas à comprendre ce que vous voulez dire,pouvez vous vous expliquez ??

salam

mes excuses , je n'ai pas fait attention

donc je propose

x² + xy -2y +5 =0 (équation du second degré en x)

deltaD = y² +8y -24 = (y+4)²-36 = doit être un carré parfait = a²

===> (y+4)²-a² = 36

===> (y+4+a)(y+4-a) = 36

===> des systèmes en y et a ====> les valeurs de x
_______________________________________________

exemple1:

y+4+a=12
y+4-a = 3

===>2y +8 = 15 impossible
_________________________________

exemple 2:

y+4+a = 18
y+4-a=2

===> 2y+8=20 ====> y=6 ===> a =8

===> x'=(-y+a)/2 = 1 et x" = (-y-a)/2 = -7
_______________________

Voilà une solution facile :
x²+xy-2y+5=0 donc (x-y)(x+2y)=5
et on sait que les diviseurs de 5 en Z sont 1,5 et -1,-5
à la fin on trouve 4 couples :
S={(1;2),(-1;-2);(3;-2);(-3;2)}

yumi a écrit:

bah voilà l'énoncé
حدد بتفصيل المجموعة التالية

A={(x,y}E Z² ; x²+xy-2y+5=0}

donc (x;y) E Z².....
et pr Houssa et Marjani j'arrive pas à comprendre ce que vous voulez dire,pouvez vous vous expliquez ??

Si c'est l'equation est ce qui est en rouge, donc vous avez trompez en croyant que x²+xy-2y²+5=0 .

Je l'ai raisolu hier, si t'as besoin de la solution et si c'est la vrai énoncé qui est en rouge, je la posterai sans problémes.

Mehdi.O a écrit:

Voilà une solution facile :
x²+xy-2y+5=0 donc (x-y)(x+2y)=5
et on sait que les diviseurs de 5 en Z sont 1,5 et -1,-5
à la fin on trouve 4 couples :
S={(1;2),(-1;-2);(3;-2);(-3;2)}

La factorisation à laquelle tu procédé est erroné!En fait,Yumi a présenté 2 annoncés différents pour le problème !

houssa a écrit:

salam

mes excuses , je n'ai pas fait attention

donc je propose

x² + xy -2y +5 =0 (équation du second degré en x)

deltaD = y² +8y -24 = (y+4)²-36 = doit être un carré parfait = a²

===> (y+4)²-a² = 36

===> (y+4+a)(y+4-a) = 36

===> des systèmes en y et a ====> les valeurs de x
_______________________________________________

exemple1:

y+4+a=12
y+4-a = 3

===>2y +8 = 15 impossible
_________________________________

exemple 2:

y+4+a = 18
y+4-a=2

===> 2y+8=20 ====> y=6 ===> a =8

===> x'=(-y+a)/2 = 1 et x" = (-y-a)/2 = -7
_______________________

Bien !

De ma part j'ai trouvé à la fin que x=(y-V((y+4)²-36))/2 => (y-2x)²=(y+4)²-36 Avec y>=2 et x<2
Je pense que c'est la méme chose, et ce n'est pas la peine de répeter car la solution finale est:

S={(-1,2),(1,6),(-7,6)}

Excusez moi mais ma factorisation est pour l'énoncé : x²+xy-2y²+5=0

mais est ce qu'on peux pas utiliser la factorisation ?
x²+xy-2y+5=0 donc (x-y)(x+2y)=-5.....
sinon pk?? car avc la factorisation on trouve 4 couples et là Marjani t'as trouvé 3 couples....
qui peut mieux m''expliquer mieux car je me trouve perdue!!!??merci d'avance

yumi a écrit:

mais est ce qu'on peux pas utiliser la factorisation ?
x²+xy-2y+5=0 donc (x-y)(x+2y)=-5.....
sinon pk?? car avc la factorisation on trouve 4 couples et là Marjani t'as trouvé 3 couples....
qui peut mieux m''expliquer mieux car je me trouve perdue!!!??merci d'avance

x²+xy-2y+5=0 donc (x-y)(x+2y)=-5

?!

ouais car si tu développes (x-y)(x+2y)+5=0 tu auras x²+xy-2y+5=0
sinon j'arrive pas à comprendre pk vous considérez ça faux??

yumi a écrit:

ouais car si tu développes (x-y)(x+2y)+5=0 tu auras x²+xy-2y+5=0
sinon j'arrive pas à comprendre pk vous considérez ça faux??

(x-y)(x+2y)+5=x²+2xy-xy-2y²+5 !!
Revois tes messages s'il vous plait.

yumi a écrit:

ouais car si tu développes (x-y)(x+2y)+5=0 tu auras x²+xy-2y+5=0
sinon j'arrive pas à comprendre pk vous considérez ça faux??

C'est plutot la factorisation de x²+xy-2y²

voici ma solution qui est classique,

x^2+xy-2y+5=0
x(x+y)-2y+5=0
x(x+y)-2y-2x+2x+5=0
x(x+y)-2(x+y)+2x+5=0
(x-2)(x+y)+2x+5=0
(x-2)(x+y)+2x-4+9=0
(x-2)(x+y+2)=-9
comme x et y sont dans Z alors x-2 et x+y+2 est dans Z,
==>x-2=1 et x+y+2=-9 ==>(3,-14)£A
x-2=3 et x+y+2=-3 ==>(5,-10)£A
x-2=9 et x+y+2=-1 ==>(11,-14)£A
x-2=-1 et x+y+2=9 ==>(1,6)£A
x-2=-3 et x+y+2=3 ==>(-1,2)£A
x-2=-9 et x+y+2=1 ==>(-7,6)£A
finalement on obtient A={(3,-14);(5,-10);(11,-14);(1,6);(-1,2);(-7,6)}
sauf erreur de ma part