Epreuve d'olympiades .

Vu qu'on parle rarement des olympiades dans le forum ces derniers temps , je profite de ce temps libre pour vous proposer cette épreuve


P.S: Postez vos réponses ici

EDIT: longueurs pas longueur haha

Merci tarask.

Exercice 1 :
1) Il s'agit de l'inégalité de Schur : la condition que a, b et c soient des longueurs de côté de triangle est inutile.
2) Équation polynomiale du troisième degré, donc trois solutions complexes d'après le théorème fondamental de l'algèbre.
Supposons par l'absurde que cette équation possède une solution double, disons a. Celle-ci devrait être alors aussi une racine du polynôme dérivé de x^3 - x - 1, qui est 3x²-1, donc a devrait être à un signe près égal à sqrt(1/3). Mais sqrt(1/3) n'est pas une solution à l'équation x^3 - x - 1. Contradiction.
Par conséquent, cette équation admet 3 solutions complexes différentes.
De plus, en notant a, b et c ces racines complexes, on arrive à dire d'après les formules de Viète que :
.
Ainsi :


Exercice 2 :
Sauf erreur de développement, l'inégalité présentée est équivalente à :
x² + y² + 3 + 3(x+y) + xy + 2(sqrt(x)+sqrt(y)) + 2(xsqrt(x)+ysqrt(y))-4sqrt(xy) >= 0
Et c'est largement vrai : on peut voir par exemple que 3(x+y)-4sqrt(xy) = x+y +2(sqrt(x)-sqrt(y))² >= 0.
Exercice 3 :
(x²-2)(x²+7)(x²+14)=0 => x²-2 = 0 => |x| = sqrt(2). Et puisque sqrt(2) n'est pas un entier, alors cette équation n'a pas de solution dans IN.
Je m'embrouille un peu dans la seconde partie : qu'est-ce qu'une solution modulo n ?

pour le dérnier exo d'arith :
suppose P(x)=(x²-2)(x²+7)(x²+14) et N un entier t.q sa décomposition est N=(produit)p_i^alpha_i
il existe des entiers x_i t.q
P(x_1) = 0 (mod p1^alpha 1 )
P(x_2) = 0 (mod p2^alpha 2)
. .
. .
. .
P(x_n) = 0(mod pn^alpha n)
alors théo des chnois prouve l'existence d'un entier x tel que x=x_i (mod N)
d'ou P(x)=0 (mod N) a b1 une soluc

----------------------------------------------------------------------------------------------
ou on utilise la méthode classique su l'indicatrice d'uler (connu )
considérons p un nombre premier et prouvons avec le critére d'uler que 2,-7,-14 sont des carré mod p !
fermat ==> a^p-1 = 1(mod p) ==> (a^(p-1)/2-1)(a^(p-1)/2 +1 )=0 (mod p)
alors si on suppose que soit 2 soit -7 ne sont pas des carés mod p alors d'aprés critére d'uler ==> a^(p-1/2)=-1 (mod p )
pour a= 2 ==> 2^(p-1/2)=-1 (mod p )
pour a=-7 ===> -7^(p-1/2) =-1(mod p )
qui donnent ==< -14 ^(p-1/2) =1 (mod p )
alors -14 est un carrés mod p

pour exo 2 c'est b1 fait avec la formule de vieta ^^ !
exo 1 ; shur fera l'affaire
je posterais les autres solucs plus tard

Bonsoir
Merci d'abord pour votre intérêt

Dijkschneier a écrit:

Merci tarask.

Exercice 1 :
1) Il s'agit de l'inégalité de Schur : la condition que a, b et c soient des longueurs de côté de triangle est inutile.
2) Équation polynomiale du troisième degré, donc trois solutions complexes d'après le théorème fondamental de l'algèbre.
Supposons par l'absurde que cette équation possède une solution double, disons a. Celle-ci devrait être alors aussi une racine du polynôme dérivé de x^3 - x - 1, qui est 3x²-1, donc a devrait être à un signe près égal à sqrt(1/3). Mais sqrt(1/3) n'est pas une solution à l'équation x^3 - x - 1. Contradiction.
Par conséquent, cette équation admet 3 solutions complexes différentes.
De plus, en notant a, b et c ces racines complexes, on arrive à dire d'après les formules de Viète que :
.
Ainsi :


Exercice 2 :
Sauf erreur de développement, l'inégalité présentée est équivalente à :
x² + y² + 3 + 3(x+y) + xy + 2(sqrt(x)+sqrt(y)) + 2(xsqrt(x)+ysqrt(y))-4sqrt(xy) >= 0
Et c'est largement vrai : on peut voir par exemple que 3(x+y)-4sqrt(xy) = x+y +2(sqrt(x)-sqrt(y))² >= 0.
Exercice 3 :
(x²-2)(x²+7)(x²+14)=0 => x²-2 = 0 => |x| = sqrt(2). Et puisque sqrt(2) n'est pas un entier, alors cette équation n'a pas de solution dans IN.
Je m'embrouille un peu dans la seconde partie : qu'est-ce qu'une solution modulo n ?

Tes idées sont très bonnes je t'en félicite
Pour l'exercice 2 , à mon avis , développer sera une torture
J'ai pas essayé cette voie ..... Je vais poster une solution officielle après d'autres interventions.
En tout cas voilà la clé en spoiler :

Spoiler:

master a écrit:

pour le dérnier exo d'arith :
suppose P(x)=(x²-2)(x²+7)(x²+14) et N un entier t.q sa décomposition est N=(produit)p_i^alpha_i
il existe des entiers x_i t.q
P(x_1) = 0 (mod p1^alpha 1 )
P(x_2) = 0 (mod p2^alpha 2)
. .
. .
. .
P(x_n) = 0(mod pn^alpha n)
alors théo des chnois prouve l'existence d'un entier x tel que x=x_i (mod N)
d'ou P(x)=0 (mod N) a b1 une soluc

----------------------------------------------------------------------------------------------
ou on utilise la méthode classique su l'indicatrice d'uler (connu )
considérons p un nombre premier et prouvons avec le critére d'uler que 2,-7,-14 sont des carré mod p !
fermat ==> a^p-1 = 1(mod p) ==> (a^(p-1)/2-1)(a^(p-1)/2 +1 )=0 (mod p)
alors si on suppose que soit 2 soit -7 ne sont pas des carés mod p alors d'aprés critére d'uler ==> a^(p-1/2)=-1 (mod p )
pour a= 2 ==> 2^(p-1/2)=-1 (mod p )
pour a=-7 ===> -7^(p-1/2) =-1(mod p )
qui donnent ==< -14 ^(p-1/2) =1 (mod p )
alors -14 est un carrés mod p

pour exo 2 c'est b1 fait avec la formule de vieta ^^ !
exo 1 ; shur fera l'affaire
je posterais les autres solucs plus tard

très jolie ta réponse pour l'exercice d'arithmétique

P.S: j'espère qu'il y aura d'autres initiatives
Et merci pour votre intérêt encore une fois

exo 2 :
b1 vu que (2+x+y)²>=2(1+x)(1+y) <==>2+x+y/(1+x)(1+y) >= 2/x+y+2
<==> 1/1+x + 1/1+y >= 2/x+y+2 <==> 1/2(1/1+x + 1/1+y) >=1/x+y+2
ce qui est vrais car 1+x>=2Vx ==> 2(1+x)>=(1+Vx)²

Quelqu'un peut-il préciser le sens d'une solution modulo n ?

Dijkschneier a écrit:

Quelqu'un peut-il préciser le sens d'une solution modulo n ?

Bonsoir Dijkschneier
D'abord , je précise que c'est un exercice tiré du cours d'animath (voir page 61 )
Bon , pour l'équation :
Je vois bien de quoi tu parles : qu'est-ce qu'il a ce modulo N à faire ici ?
Moi aussi je n'avais pas bien compris cet exercice , j'ai au début songé aux complexes ... pas du tout une bonne idée
J'avais beaucoup cherché avant de proposer le test , et voilà quelques lien qui m'ont vraiment clarifié quelque chose : les résidus quadratiques !!
http://www.acrypta.com/telechargements/fichecrypto_210.pdf
http://www.acrypta.com/telechargements/fichecrypto_200.pdf

Bonne lecture Dijkschneier et désolé pour le retard

Bah...
Les résidus quadratiques modulo n, je comprends bel et bien. Une solution modulo n, je ne vois pas encore ce que ça peut signifier

Dijkschneier a écrit:

Bah...
Les résidus quadratiques modulo n, je comprends bel et bien. Une solution modulo n, je ne vois pas encore ce que ça peut signifier

A vrai dire , ça me parait étrange moi aussi !!!
j'ai confirmé la réponse de master (la deuxième, je précise !! ) parce qu'elle était semblable (plus ou moins) à l'officielle(à la manière des mauvais correcteurs)
J'ai lu les deux pdfs que je t'ai filés ..... ça a commencé à s'éclaircir .... quand tout à cas ça donne plus aucun sens

P.S: Je crois que seul un étudiant au sup pourra nous expliquer celà

D'accord tarask.
Quelqu'un peut-il préciser le cas d'égalité (s'il existe) pour l'inégalité proposée dans l'exercice 2 histoire de vérifier mon développement ?

Le cas d'égalité a lieu quand x=y je crois
En fait , voilà la preuve

Bravo.

tarask a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Bah...
Les résidus quadratiques modulo n, je comprends bel et bien. Une solution modulo n, je ne vois pas encore ce que ça peut signifier

A vrai dire , ça me parait étrange moi aussi !!!
j'ai confirmé la réponse de master (la deuxième, je précise !! ) parce qu'elle était semblable (plus ou moins) à l'officielle(à la manière des mauvais correcteurs)
J'ai lu les deux pdfs que je t'ai filés ..... ça a commencé à s'éclaircir .... quand tout à cas ça donne plus aucun sens

P.S: Je crois que seul un étudiant au sup pourra nous expliquer celà

Personne à nous donner une clarification ?
Je supplie toute personne pouvant expliquer ce problème , et merci d'avance .

bah on dit en arithmétique que a est congru à b modulo n si et seulement si n divise a-b

Nettah108 a écrit:

bah on dit en arithmétique que a est congru à b modulo n si et seulement si n divise a-b

Nettah108 a écrit:

bah on dit en arithmétique que a est congru à b modulo n si et seulement si n divise a-b

C'est vrai ?? ça veut dire que je connais rien à l'arithmétique ! Non , mais s'il te plait , essaye de lire tout le sujet !!!

Une solution modulo N , ne serait-ce pas un nombre qui vérifie que l'équation est juste pour chaque anneau quotient , on dois alors montrer que ce ne nombre existe (en faite ça vas être une famille de nombres congru à un même nombre modulo N) et je pense que cette famille vas changé d'anneau en anneau ce qui est logique , mais la question demande de montrer seulement qu'elle existe quelque soit L'anneau ... En espérant ne pas m'être gouré :p

Généralement un polynôme à coefficients entiers admet une racine modulo un nombre entier p si et seulement si:
il existe un entier x tel que p divise P(x)

On utilise la relation de congruence modulo un nombre n (notée par les trois tirés superposés et puis le nombre n est à droite indiqué, je la noterais par '=') définie par a=b (mod n) si et seulement si: n divise a-b
En particulier P admet une racine modulo n si il existe un entier x tel que : P(x)=0 (mod n)
Pourquoi définir la relation de congruence?
La réponse est simple: car cette relation est compatible avec l'addition et la multiplication càd:
si a=b (mod n) et a'=b' (mod n) alors a+a'=b+b' (mod n) et aa'= bb' (mod n)
On a en particulier a^k=b^k (mod n ) pour tout k ( peut etre facilement montré par récurrence)
Des applications de tout ça ?
bah il y en a pleiiiin!!!
par exemple: montrer que 2^2010-1 est dévisible par 3
Réponse: ona 2=-1 (mod 3)
Donc 2^2010=(-1)^2010=1 (mod3) d'ou 3 divise 2^2010-1

Bonsoir darkpseudo et supista !!
Premièrement merci pour votre intérêt .
@darkpseudo : que veux tu dire par une famille au juste ?? J'ai bien saisi ton idée , toutefois , je trouve du mal à faire un lien entre l'exercice et tes propos (peut-être qu'il n'y a pas de lien..)
@supista: Les propriétés que vous avez citées , je les maîtrise bien , mais revenons à notre exercice : l'équation admet √2 et -√2 comme solutions dans R , d'après l'énoncé , pour tout entier N l'équation admet une solution modulo cet entier .... comment ça se peut ????

ok Tarask, je vais répondre à ta question:
ça parait bizarre un peu, mais cela est vrais prenons par exemple P=X^2-2
P admet une racine modulo 7 , en effet si tu prends X=3
Généralement pour un nombre premier p >2 on a le critère suivant :
P=X^2-2 admet une racine modulo p si et seulement si p^2-1 est divisible par 16 (Euler)
Donc P admet des racines pour tout entier premier p vérifiant le critère
Donc une équation peut ne pas avoir de solution dans N mais admet des solution modulo un entier.
De plus pour Q=X^2+2 qui n'admet pas de solution dans R admet 3 pour solution modulo 11
je peux aller meme plus loin, R=X^2+1 admet des racice modulo tout nombre premier p qui s'ecrit sous la forme 4k-1 ( et il y en a une infinité...)

supista a écrit:

ok Tarask, je vais répondre à ta question:
ça parait bizarre un peu, mais cela est vrais prenons par exemple P=X^2-2
P admet une racine modulo 7 , en effet si tu prends X=3
Généralement pour un nombre premier p >2 on a le critère suivant :
P=X^2-2 admet une racine modulo p si et seulement si p^2-1 est divisible par 16 (Euler)
Donc P admet des racines pour tout entier premier p vérifiant le critère
Donc une équation peut ne pas avoir de solution dans N mais admet des solution modulo un entier.
De plus pour Q=X^2+2 qui n'admet pas de solution dans R admet 3 pour solution modulo 11
je peux aller meme plus loin, R=X^2+1 admet des racice modulo tout nombre premier p qui s'ecrit sous la forme 4k-1 ( et il y en a une infinité...)

Rouge : pourquoi ? (je sais que c'est le critère d'Euler , mais je vois pas d'où vient le 16 )
Désolé si je pose trop de questions (c'est minuit )
P.S: maintenant je commence à le comprendre cet exercice .

Au fait mon idée est un peu là même que celle de supista , même si certain de ces propos restes un peu flou à mes yeux . Mais ce que je veux dire par une famille :
par exemple si l'equation admet une solution par exemple pour l'anneau quotient de deux l'equation devien :
x^2(x^2+1)*x^2 =0 il est clair que dans ce cas 0 est une solution
Donc on peut dire que tout les nombre pair vérifient l'équation modulo 2 ( en d'autre termes si on remplace un nombre pair dans l'equation on verra qu'il est congru à 0 modulo 2 )
Maintenant reste à montré ça pour tout les N

non ça fait plaisir de te répondre
il y a deux critère de gauss dans la théorie des résidus quadratique, l'un de ces critères dis que 2 est résidu quadratique modulo un nombre premier impaire p si et seulement si (p^2-1)/8 est pair

Bonjour .
Merci supista d'avoir pris la peine de répondre , maintenant j'ai bien compris l'exercice.
Merci à toi aussi drakpseudo

Je crois que ce qui est à retenir est cela :

supista a écrit:

En particulier P admet une racine modulo n si il existe un entier x tel que : P(x)=0 (mod n)

Ainsi, dans un langage différent, le problème 3 peut se traduire en :
"Montrer que pour tout entier N, il existe deux entiers x et k tels que : (x²-2)(x²+7)(x²+14)=kN."