Un suite d'entiers

Les entiers x(1) and x(2) =< 1000. On définit la suite:
x(3)= |x(1)- x(2)|;
x(4) = min { |x(1) - x(2)|, |x(1) - x(3)|, |x(2) - x(3)|};
.......
x(k) = min { |x(i) - x(j)|; 0 <i < j < k};
.......

montrer que x(21) = 0.

x1 et x2 jouent le meme puisque x3 =lx1-x2l donc on peut supposer x2<=x1
remarquer que la suite est decroissante a partir de n=3 et on a de plus la relation de recurence x(n+1)=MIN{xn ; lx1-xnl ; lx2-xnl ; ......; lx(n-1) -xnl} pour tout n>=4
l expression devienne puisque la suite est decroissante
x(n+1)=MIN{xn;lx1-xnl;lx2-xnl;lx(n-1) - xnl}
donc x(n+1) <= [xn + (x(n-1) - xn)]/2 (la moyenne)
donc x(n+1)<= (x(n-1)/2)
alors on discutant suivant les valeurs de x2 et x1 pour que x3 soit maximale on trouve que x4<=500 donc x6<=250 donc x8<=125 donc x10<=62 et x12<=31 ; x14<=15 ; x16<=7 ; x18<=3 x20<=1 donc en revenant a la relation de recurence on trouve que x21=0

lol
on a meme x(13)=0
je peux le démontrer avec une méthode.. un peu.. graphique
parce que x3<=1000
x4<=500 = 1000/2
x5<=250 = 1000/2^2
.
.
.
x13<=1000/2^10=1000/1024<1
or x13 entier naturel => x13=0