1/ E (Inter) IZ² <=> {(x,y)£IR² ET (x,y)£IZ²} <=> {(x,y)£IZ²} [Car IZ C IR]
Tu dois donc résoudre l'equation x²+y²-xy=1 dans IZ :
^2+xy=1 \Leftrightarrow x-y=\pm \sqrt{1-xy})
\in \mathbb{Z}^2 \Rightarrow (x-y)\in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt{1-xy}\in \mathbb{Z}\Rightarrow xy\leq 1)
*
Si x<-1: donc x²>1 <=> x²>=4 (A) (Car x£IZ) ET -x>1 (1) , Et sous cette condition si y<-1 =>
-y>1 (2) , de (1) et (2):
xy>1 Contradiction avec xy=<1.
Et sous la condition du départ si y>-1: y²>1 donc
y²>=4 (B) , de (A) et (B) et x²+y²-xy=1 on déduit que 4+4-xy=<1 donc xy>=7 ==> Contradiction avec xy=<1
On déduit que x>=-1 , On voit bien que x={-1,0,1} sont des solutions, donc on discute du cas ou x>1:
On a déjà disscuter du cas ou x²>=4 et y²>=4 (la méme chose si x>1,y<-1). Donc il suffit de discuer de
x>1 et y>=-1: x>=2 =>
x²>=4 ET y>=-1 =>
y²>=0 , on remplace dans x²+y²-xy=1 , donc 4+0-xy=<1 <=> xy>=3 ==> contradiction avec xy=<1.
* On déduit que x£{-1;0;1} Et remplacer dans x²+y²-xy=1, pour trouver que:
S={(-1;-1),(1;1),(0;-1),(0;1),(-1;0),(1;0)} Donc E (Inter) IZ²={(x,y)£{(-1;-1),(1;1),(0;-1),(0;1),(-1;0),(1;0)}
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