exo des applications

soit f lapplication de N a N avec f(n)=n (-1)^n
1)montrez que f est injectif et surjectif
2)calculez f(f(n)) quelque soit n de N et deduisez la reciproque de f

salam

f(1) = -1 ???? dans IN

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salam

donc tu dois corriger l'énoncé

f(n) = n + (-1)^n

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injection:

si f(n) = f(m) et n > m ===> n+(-1)^n = m+(-1)^m

===> n-m = (-1)^m - (-1)^n >=1

===> m pair= 2p et n impair=2k+1

f(n) = 2k+1 + (-1)^(2k+1) = 2k =n-1

f(m) = 2p + (-1)^2p = 2p +1 = m+1

====> n-1=m+1 ====>n=m+2 ====> n et m de même parité (contradiction)

donc f injectif

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surjection:

soit n E IN , cherchons p E IN tel que f(p) = n

====> p +(-1)^p = n

====> (-1)^p = n-p

====> n-p = 1 ou -1

donc p = n-1 ou n+1


vérification :

f(n-1) = (n-1) + (-1)^(n-1) = n pour n pair

f(n+1) = (n+1) +(-1)^(n+1) = n pour n impair

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