limite

salut;

Soit f une fonction de classe C^1 sur [0,+oo[ telle que : (a de IR)

lim[x-->+oo](f(x)+f'(x))=a

Montrer que : lim[x-->+oo](f(x))=a

* si f admet une limite L finie ==> lim f' = 0 ==> L = a

* si f admet +l'infini comme limite ==> lim f' = -00 (pour avoir une FI: sinon : lim (f+f')=
00 #a)

donc on sait que le signe d'une fonction dans un voisinage est le m^me signe de sa limite dans ce voisinage ... donc f' est négative ==> f est décroissante ==>
lim f = L' ( si f est minorée ) ou lim f = -00 ( s'il n'est pas minorée ) contadiction

* si f admet -00 comme limite ( m^me méthode )

* si n'admet pas de limites : je me bloques

( f' n'a pas de limite sinon : lim (f +f') - lim (f') £ IR ==> f admet une limite contradiction .... )

Bonjour ;

Pour £ > 0 soit A > 0 tel que pour tout x >= A on ait | f(x) + f'(x) - a | < £

c'est à dire tel que pour tout x >= A on ait a - £ < f(x) + f'(x) < a + £

ainsi , si on note exp la fonction exponentielle , on a aussi pour tout x >= A , (a - £).exp(x) < [f(x) + f'(x)].exp(x) < (a + £).exp(x)

ce qui donne , par intégration sur [A,x] , pour tout x >= A , (a - £).(exp(x) - exp(A)) < f(x).exp(x) - f(A).exp(A) < (a + £).(exp(x) - exp(A))

ou encore pour tout x >= A , [(a-£).(exp(x)-exp(A))+f(A).exp(A)].exp(-x) < f(x) < [(a+£).(exp(x)-exp(A))+f(A).exp(A)].exp(-x)

et comme les termes encadrant f(x) tendent , quand x ---> +oo , respectivement vers a-£ et a+£ ,

on peut trouver B >= A tel que pour tout x>=B on ait a-2£ < f(x) < a+2£ sauf erreur bien entendu

Merci Mr.elhor_abdelali ! l'intervention astucieux de l'exp c'est l'idée..

Ca n'as rien d'exceptionnel .