Le nombre PI vu comme une limite

Montrer que :
et dsl car jai pas de latex pour l'instant !Bon chance !

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woooow je relance le sujet c tro coool comme exo !!!

Bonjour,

c'est tres cool :
voila les elements de la reponse :
On a :
- U_n=sin(Pi/n)~ V_n=tg(Pi/n)~Pi/n qd n->+00 .

et on utilise des formules trigonometriques pour les iterations des U_n et V_n (qui sont couplés comme suites par un system d'equations).

2cos(x/2)=sqrt(2+cos(x)) et 2sin(x/2)=sqrt(2-cos(x))
tg(x) = 2tg(x/2) / (1-tg(x/2)^2).


le reste c'est d'utiliser les formules pour n=2^p ou n=6.2^p et s'arreter à n=3 dans les racines.

Ps: la formule represente le perimetre d'un polygone qui approche le cercle.

Amicalement.

Béhé.

Pour bien la solution essaye de calculer "algebriquement" (exprimer à l'aide des racines et des rationelles) :
-tan(Pi/3), sin(Pi/3)
-tan(PI/6), sin(Pi/6)
-tan(Pi/12), sin (Pi/12)
....

se sont des solutions d'equations polynomiales par radicaux emboitées !

J'essaye un peu de comprendre ta solution.
"le reste c'est d'utiliser les formules pour n=2^p ou n=6.2^p et s'arreter à n=3 dans les racines." : p représente quoi au juste ?
Et je n'ai pas très bien compris comment tu arrives à établir la liaison entre les deux suites et les formules trigonométriques.

tres bonne idée merci !

Dijkschneier a écrit:

J'essaye un peu de comprendre ta solution.
"le reste c'est d'utiliser les formules pour n=2^p ou n=6.2^p et s'arreter à n=3 dans les racines." : p représente quoi au juste ?
Et je n'ai pas très bien compris comment tu arrives à établir la liaison entre les deux suites et les formules trigonométriques.

je n'ai dis que l'idée ! ici p designe un entier (genre on se restreint qu'aux nombres de formes 6.2^p):


On a :
- U_n=sin(Pi/n)~ V_n=tg(Pi/n)~Pi/n qd n->+00 .

d'apres les trois formules on a V_2n=2U_n*V_n /(U_n+V_n) et U_2n=sqrt(U_n*V_n)
et U_3=1,5*sqrt(3) ,V_3=3*sqrt(3);
donc
U_6*2^p = ............(en fonction de U_6*2^p-1 et U_6*2^p-1)................... et refais pareil apres tu tends p vers l'infini.

Ps: je ne suis pas sure de mes formules, reverifie ce que j'ai ecris !!, c 2h du matin
desole pour le Latex