exo pour les lycéens !!

Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que les points A,B,C,D sont les milieu respectif des segments DD',AA',BB',CC'
Calculez la surface du quadrilatère A'B'C'D' en fonction de la surface de ABCD

p.s= je crois qu'on va trouver S'=5S

dans le triangle D'AA' on a B le milieu de [AA'] donc S(D'AB)=S(D'A'B)
d'où S(D'AA')=2S(D'AB)
et dans le triangle BDD' on a A le milieu de [DD'] donc S(D'AB)=S(ABD)
d'où S(D'AA')=2S(ABD)

dans le triangle A'BB' on a C le mileu de [BB'] donc S(A'BC)=S(A'B'C)
d'où S(A'BB')=2S(A'BC)
et dans le triangle CAA' on a B le milieu de [AA'] donc S(ABC)=S(A'BC)
d'où S(A'BB')=2S(ABC)

dans le triangle B'CC' on a D le milieu de [CC'] donc S(B'CD)=S(B'C'D)
d'où S(B'CC')=2S(B'CD)
et dans le triangle DBB' on C le milieu de [BB'] donc S(B'CD)=S(BCD)
d'où S(B'CC')=2S(BCD)


dans le triangle C'DD' on a A le milieu de [DD'] donc S(C'AD)=S(C'AD')
d'où S(C'DD')=2S(C'AD)
et dans le triangle ACC' on a D le milieu de [CC'] donc S(AC'D)=S(ACD)
d'où S(CDD')=2S(ACD)

d'autre part on a :
S(A'B'C'D')=S(ABCD)+S(D'AA')+S(A'BB')+S(B'CC')+S(CDD')
S(A'B'C'D')=S(ABCD)+2S(ABD)+2S(ABC)+2S(BCD)+2S(ACD)
S(A'B'C'D')=S(ABCD)+2[S(ABD)+S(BCD)]+2[S(ABC)+S(ACD)]
S(A'B'C'D')=S(ABCD)+2S(ABCD)+2S(ABCD)
d'où
S(A'B'C'D')=5S(ABCD)