équivalent d'1 suite

Salut, bonne année tout le monde ; mes meilleurs voeux de bonheur ,santé ,prospérité et succès
1)montrer que pour tout n >2 ,il existe x_n unique dans ]o,1[ solution de : x^n -nx + 1 = 0
a) montrer que (x_n) converge que lim (x_n)^n = 0 puis que x_n équiv 1/n
b)donner un équivalent de : y_n= x_n - 1/n
bon courage

salam

je pense fractionner les questions pour faciliter les réponses

1) considérer fn(x) = x^n - n.x + 1--------------> variations
2) Equation fn(x) = 0 -----------------> sol uniq an € ]0,1[
3) monotonie de an ( en passant par le signe de fn+1(x) - fn(x) )----------> an décroissante
4) convergence de an
5) lim(an)^n=0
6) lim (an - 1/n) = 0

................................................

6)donner un équivalent de a_n - 1/n

1)f_n est strictement décroissante sur[o,1] et TVI
f_(n+1)(x_n) = (x_n)^(n+1) _ (x_n)^n - x_n < o= f_(n+1)(x_(n+1) et f_(n+1) décroissante
2) o< (x_n)^n <( x_3)^n --> o
(x_n)^n = nx_n - 1 --> o et conclure
3) (1+ (x_n)^n)^n --> 1 à vérifier passer à l exponentielle
'x_n - 1/n = 1/n)(x_n)^n =(1/n)( 1+(x_n)^n (1/(n^n)
et (1+(x_n)^n)^n eq à 1 et conclur