demonstration trigonometrie

bonjour tout le monde
bonne année
pouvez vous m aider pour cette exercice de demonstration

1) demontrer que pour tout nombre reel a:
cos 5a = 16 cos^5 a - 20 cos^3 a + 5 cos a

2) verifier pour tout nombre reel x :

16 x^5 - 20 x^3 + 5x +1 = (x+1)(4x^2-2x-1)^2

3) on pose t= cos pi/5
demontrer que t (nombre reel) est solution de l equation

4x^2-2x-1= 0 puis que t= (1+racine de 5)/4

4) en deduire
sin pi/5 cos 2pi/5 sin 2pi/5 cos pi/10 sin pi/10


Pouvez vous m aider car encore une fois je ne comprens pas
merci beaucoup

salam:

tout est calculatoire :

l'idée est la linéarisation (takhtit, je croits ) de cos .donc il faut utilisé les complexes et exponentielle;

on utilise l'égalité de binôme de newton pour développé :

on a cos^5 (a)=1/2^5 ( e(i5a)+e(-i5a) - 5e(i4a)e(-ia)+10e(i3a)e(-i2a)-10e(i2a)e(-i3a)+5e(ia)e(-i5a))

de meme pour cos^3(a)

regroupe et calcule:

Je n ai jamais fait les complexes et exponentielle
alors ca va faire louche si je donne ca a mon prof
je n ai jamais fait avec les e et les i
pouvez vous m aider d une autre facon
s il vous plait
merci

Est ce que vous pouvez m aider s il vous plait
j attend votre aide avec impatience
merci beaucoup

salam:

on a d'après Euler:

cos^5(a)=1/16(cos(5a) +5cos(3a)+10cos(a))

cos^3(a)=1/4cos(3a)+3/4cos(a)

donc:16 cos^5 a =cos(5a) +5cos(3a)+10cos(a) et 20 cos^3 a =20(1/4cos(3a)+3/4cos(a))
=5cos(3a)+15cos(a)

on somme :16 cos^5 a - 20 cos^3 a + 5 cos a=cos(5a) +5cos(3a)+10cos(a) - (5cos(3a)+15cos(a)) + 5cos(a) =cos(5a)

pour2): rien a faire que de développée

merci
apres je fais comment pour la 2
????

S IL VOUS PLAIT

coco22300 a écrit:

merci
apres je fais comment pour la 2
????

(x+1)(4x^2-2x-1)^2 = (x+1)(16x^4 +(2x+1)^2 -8x^2(2x+1))=(x+1)(16x^4 +4x^2 + 4x +1 -16x^3 - 8x^2)=....

16x^5 + 4x^3 + 4x^2 + x - 16x^4 - 8x^3 + 16x^4 + 4x^2 + 4x + 1 - 16x^3 - 8x^2
=16x^5 - 20x^3 + 4x + 1
c est ca.????

3)


16 x^5 - 20 x^3 + 5x +1 = (x+1)(4x^2-2x-1)^2

3) on pose t= cos pi/5
demontrer que t (nombre reel) est solution de l equation

4x^2-2x-1= 0

on a (4x^2-2x-1)^2 =(16 x^5 - 20 x^3 + 5x +1)/(x+1) , x=|=-1

=>(4t^2-2t-1)^2=(16 t^5 - 20 t^3 + 5t+1)/(t+1)

comme 16 t^5 - 20 t^3 + 5t=cos(pi) =>16 t^5 - 20 t^3 + 5t+1 =cos(pi)+1=-1+1=0

donc (4t^2-2t-1)^2 =0 => 4t^2-2t-1=0

d'ou t est solution de l'equation

coco22300 a écrit:

16x^5 + 4x^3 + 4x^2 + x - 16x^4 - 8x^3 + 16x^4 + 4x^2 + 4x + 1 - 16x^3 - 8x^2
=16x^5 - 20x^3 + 4x + 1
c est ca.????

==16x^5 - 20x^3 + 5x + 1

3) suite:

4x^2-2x-1= 0 puis que t= (1+racine de 5)/4

remplace x par (1+racine de 5)/4 et calculer ;

4(1+racine de 5)^2/16 - (1+v5)/2 -1 =1/4(6+2v5) -1/2(1+v5) -1 =.......=0

donc t= (1+racine de 5)/4 et solution de l'équation

4)

d'après 3)

on a cos(pi/5)=(1+v5)/4 donc sin(pi/5)=racine(1-((1+v5)/4 )^2 =racine (1-1/16(6+2v5))=1/4racine(-2(v5-5))

cos(2pi/5)=sin(pi/5)=1/4racine(-2(v5-5))
sin(2pi/5)=1/4racine(2(v5+5))
cos(pi/10)=sin(2pi/5)=1/4racine(2(v5+5))
sin(pi/10)=(v5 - 1)/4

coco22300 a écrit:

Je n ai jamais fait les complexes et exponentielle
alors ca va faire louche si je donne ca a mon prof
je n ai jamais fait avec les e et les i
pouvez vous m aider d une autre facon
s il vous plait
merci

pour la linéarisation de cos^5(x) et cos^3(x) on a besoin de EULER et utilisé les nombre complexes, ainsi la formule de binôme et tout ca en le fait en 6eme (2eme année du lycée )

OK
Mais nous on ne la pas encore fait
mais merci beaucoup

cos(5a)=16cos^5a-20cos^3+5cosa
on a cos(5a)=cos(2a+3a)
donc / cos(2a+3a)=cos(2a)cos(3a)-sin(2a)sin(3a)
=(2cos^2-1)(4cos^3-3cos(a))-(2sinacosa)(3sina-4sin^3a)
=(8cos^5a-4cos^3a-6cos^3a+3cosa)-(6sin^2acosa-8sin^4cosa)
=8cos^5a-10cos^3a+3cosa-6sin^2acosa+8sin^4cosa
=8cos^5-10cos^3a+3cosa-6(1-cos^2a)cosa+8(1-cos^2a)^2cosa
=8cos^5-10cos^3a+3cosa-6cosa+6cos^3+8cos^5a-16cos^3a+8cosa
=16cos^5a-20cos^3a+5cosa

2) Vérifier que, pour tout réel x,

16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x+1) (4x² - 2x - 1)²

p(x)=16x^5 - 20x^3 + 5x + 1
p(-1) =0 donc p(x) est divisible par (x+1)
en faisant la division [p(x)]/(x+1)
on trouve 16x^4-16x^3-16x²+4x+1 c'est exactement (4x² - 2x - 1)²
nous avons bien : 16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x+1) (4x² - 2x - 1)²