Une d'animaths .

Bon après-midi tout le monde !
en feuilletant les documents d'animaths j'a trouvé cette inégalité :
prouver que pour tous réels a,b,c et d strictement positifs tels que ab+bc+cd+da=1 on a

je vous propose de résoudre cette inégalité d'une autre manière que celle de réordonnement

Spoiler:

Il suffira en fait de montrer que 2(ac+bd)² >= 1+(ac+bd), ce qui est équivalent à X >=1 où X=ac+bd, ou encore à X >= ab+bc+cd+ad.
Cette dernière inégalité ne devrait pas être vraie.
Par conséquent, la démarche que tu as poursuivie n'est pas suffisamment aiguisée pour répondre aux besoins du problème.

Dijkschneier a écrit:

Il suffira en fait de montrer que 2(ac+bd)² >= 1+(ac+bd), ce qui est équivalent à X >=1 où X=ac+bd, ou encore à X >= ab+bc+cd+ad.
Cette dernière inégalité ne devrait pas être vraie.
Par conséquent, la démarche que tu as poursuivie n'est pas suffisamment aiguisée pour répondre aux besoins du problème.

Je ne vois pas pourquoi !

Je suis désolé.
Cela revient donc à démontrer que 6X²>=1+X, ou encore à X>=1/2, où X=ac+bd.
Mais cela est faux. On peut le voir en prenant pour les besoins de la contradiction : (a,b,c,d)=(1/3,1/2,2/3,1/2)

C'est pas du tout grave !
En fait , je me trouve toujours coincé quand je fais cette méthode (celle de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre ... ) il me semble que cette opération rend la preuve plus difficile voire impossible .

tarask a écrit:

En fait , je me trouve toujours coincé quand je fais cette méthode (celle de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre ... ) il me semble que cette opération rend la preuve plus difficile voire impossible .

Je me suis fait la même remarque un jour. Mais il faut voir que cette "méthode" (on dirait plus précisément trick) est en fait équivalente à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. D'ailleurs, elle est appelée la forme d'Engel de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, ou encore lemme de Titu.
Aussi, si en multipliant le dénominateur et le numérateur par la même variable a ne donne rien, tu peux encore essayer de multiplier par a², par a^3, par (ab)², etc. Cela permet de "renforcer" les inégalités avec lesquels tu travaille, mais au détriment de l'élégance, car alors, tu as souvent affaire à des racines carrées plutôt moches.

Dijkschneier a écrit:

tarask a écrit:

En fait , je me trouve toujours coincé quand je fais cette méthode (celle de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre ... ) il me semble que cette opération rend la preuve plus difficile voire impossible .

Je me suis fait la même remarque un jour. Mais il faut voir que cette "méthode" (on dirait plus précisément trick) est en fait équivalente à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. D'ailleurs, elle est appelée la forme d'Engel de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, ou encore lemme de Titu. Aussi, si en multipliant le dénominateur et le numérateur par la même variable a ne donne rien, tu peux encore essayer de multiplier par a², par a^3, etc. Cela permet de "renforcer" les inégalités avec lesquels tu travaille, mais au détriment de l'élégance, car alors, tu as souvent affaire à des racines carrées plutôt moches.

Rouge:Oui , c'est d'ailleurs ce qui m'est arrivé ici https://mathsmaroc.jeun.fr/t17349-vasile-cirtoaje
pour le lemme de Titu , et la forme d'Engel , ne peux-tu pas me les écrire ? question d'avoir une idée sur
Et merci pour ton intérêt

tarask a écrit:

Bon après-midi tout le monde !
en feuilletant les documents d'animaths j'a trouvé cette inégalité :
prouver que pour tous réels a,b,c et d strictement positifs tels que ab+bc+cd+da=1 on a

je vous propose de résoudre cette inégalité d'une autre manière que celle de réordonnement

Spoiler:

SI sa marche CS:

ce qui reste a démontrer est vrai car a²+b²+c²+d²>=(a+c)(b+d)=1
et
@tarask : le passage en premier lIgne C'est ce qu'on appel CS IN ENGEL FORM ou Lemme de TITU mais apparemment C du simple CS !