Inégalités

Salut,

Exercice 1

Soit x un réel strictement positif tel que:


Montrez que:



Exercice 2

Soit a,b,c trois réels strictement positifs tel que:

Montrez que :
1)
2)

Pour le premier, la première étape est de multiplier les deux côtés par x², et d'avoir ainsi les deux relations :
x^5 - x^3 + x >= 3
x^7 - x^5 + x^3 >= 3x²
...
Le second se fait en une seule ligne avec Cauchy-Schwarz.

On a
Donc
Donc
Donc
Donc
Donc
Et puisque
Donc
Et on a pour tous réels positifs
Donc
Donc

Dijkschneier a écrit:

Pour le premier, la première étape est de multiplier les deux côtés par x², et d'avoir ainsi les deux relations :
x^5 - x^3 + x >= 3
x^7 - x^5 + x^3 >= 3x²
...

Je ne peux pas savoir ton prochain pas, tu peux détailler.

Le prochain pas est de sommer.

...

Merci pour vos réponses.

Avez-vous une autre méthode pour le 2ème, une méthode qu'on peut utiliser aux l'olympiades?

Merci d'avance.

ًon a selon cs : 2(a^2/(b+c) +b^2/(a+c) +c^2/(a+b))(a+b+c)>=(a+b+c)^2 Avec a+b+c=1. Ce qui donne cqfd.

ًon a selon cs : 2(a^2/(b+c) +b^2/(a+c) +c^2/(a+b))(a+b+c)>=(a+b+c)^2 Avec a+b+c=1. Ce qui donne cqfd.

Salut
On a le droit d'utiliser Caushy Schwarz aux Olympiades de TC ??

Azerty1995 a écrit:

Salut
On a le droit d'utiliser Caushy Schwarz aux Olympiades de TC ??

Je crois que OUI.

Pour la deuxième inégalité :
D'après Caushy Shwartz :
Posons S=(a+b)²/(c+1)+(b+c)²/(a+1)+(a+c)²/(b+1)) donc
((a+1)+(c+1)+(b+1))S=4S>=((a+b)+(a+c)+(b+c))=2²=4
Il s'ensuit que S>=1

CQFD

Merci pour vos réponses