Shortlist.

Trouver toutes les fonctions f:R-->R telles que
f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)
Hard luck .

tarask a écrit:

Trouver toutes les fonctions f:R-->R telles que
f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)
Hard luck .

Bonjour,

Soit P(x,y) l'assertion f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)
Soit f(0)=a

1) f(x) est surjective
P((a-x)/2,-f((a-x)/2)) ==> x=f(f(-f((a-x)/2))-(a-x)/2)
CQFD

2) f(x) est injective
Si f(y1)=f(y2), alors la comparaison de P(x,y1) et de P(x,y2) implique f(y1+f(x))=f(y2+f(x))$
Et donc, puisque f(x) est surjective : f(x+T)=f(x) avec T=y1-y2
En comparant alors P(T,0) et P(0,0), on obtient T=0
CQFD

3) f(x)=x+a
P(0,x) ==> f(x+a)=f(f(x)) et donc, puisque f(x) est injective : f(x)=x+a
Et on vérifie aisément que ceci est bien une solution, quelquesoit a
CQFD

pco a écrit:

tarask a écrit:

Trouver toutes les fonctions f:R-->R telles que
f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)
Hard luck .

Bonjour,

Soit P(x,y) l'assertion f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)
Soit f(0)=a

1) f(x) est surjective
P((a-x)/2,-f((a-x)/2)) ==> x=f(f(-f((a-x)/2))-(a-x)/2)
CQFD

2) f(x) est injective
Si f(y1)=f(y2), alors la comparaison de P(x,y1) et de P(x,y2) implique f(y1+f(x))=f(y2+f(x))$
Et donc, puisque f(x) est surjective : f(x+T)=f(x) avec T=y1-y2
En comparant alors P(T,0) et P(0,0), on obtient T=0
CQFD

3) f(x)=x+a
P(0,x) ==> f(x+a)=f(f(x)) et donc, puisque f(x) est injective : f(x)=x+a
Et on vérifie aisément que ceci est bien une solution, quelquesoit a
CQFD

Parfait Monsieur !
On aurait pu montrer la surjectivité , sans recourir à l'injectivité .
en prenant y=-f(x) dans l'équation fonctionnelle on aura f(0)-2x=f(f(f(-x))-x) , ce qui nous donne immédiatement la surjectivité de f .

mais j'ai démontré en une ligne la surjectivité sans utiliser l'injectivité.

J'ai ensuite utilisé la surjectivité pour démontrer l'injectivité.

pco a écrit:

mais j'ai démontré en une ligne la surjectivité sans utiliser l'injectivité.

J'ai ensuite utilisé la surjectivité pour démontrer l'injectivité.

Oups , je me suis confondu .. Désolé .