serie d'exo (olympiades)

nous allons passez la deuxième phase d'olympiade le vendredi.
voila une série que je propose (équations et polynomes)
https://i.servimg.com/u/f76/16/16/39/98/olymp_10.jpg
p.s:essayer dela faire vite pour que je compare avec mes réposes.
merci amicalement.

veut tu que je poste mes resultats?

bien sur je suis vraiment interessé!!!!!!!!!!!!!!!!!!
merci bcp

Premier exercice :
Premier remarques : x doit être positif (la racine) et doit être inferieur à 12 (la racine aussi )
=> 0<= x <=12
on pose y = racine(12-racine(x))
on trouve y⁴-24y²+y+132 = 0
Puisque
Alors
Donc L'equation n'admet pas de solution !
Sauf erreur

Troisième Exercice :
Puisque a, b et P(1) sont impaires
alors a, b et c sont impaires
pour que l'equation P(x) admet de solutions dans Q (qui est impaire aussi) doit être carré parfait
posons

idem pour b
donc b²-n² devisible par 8
donc a*c dévisible par 2 => absurde !!
Ce qui montre que P(x) = 0 n'admet pas de solutions dans Q

Salam!
@abdelkrim-amine
exo1:

x dans D<==> x>=0 et 12-Vx>=0
<==> x>=0 et 144>=x
<==>x appartient à [0,144]
x=12-V(12-Vx)<==>12-x-V(12-Vx)=0
<==>V(12-Vx)(V(12-Vx)-1)=0
<==>V(12-Vx)=0 ou V(12-Vx)-1=0
<==>x=144 ou x=121
==>S={121,144}

2ème Exercice :
Les solutions de l'equations sont :
avec :
donc :

exo4:
1)
Soit P(x)=ax^3+bx²+cx+d
P(x+1)-P(x)=x(x+1)
<==> a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d-(ax^3+bx²+cx+d)=x²+x
<==> 3ax²+(3a+2b)x+a+b+c=x²+x
<==> a=1/3 , b=0, c=-1/3 et d=cte

achraf_djy a écrit:

Salam!
@abdelkrim-amine
exo1:

x dans D<==> x>=0 et 12-Vx>=0
<==> x>=0 et 144>=x
<==>x appartient à [0,144]
x=12-V(12-Vx)<==>12-x-V(12-Vx)=0
<==>V(12-Vx)(V(12-Vx)-1)=0
<==>V(12-Vx)=0 ou V(12-Vx)-1=0
<==>x=144 ou x=121
==>S={121,144}

On a 12-x = racine(12-racine(x)) qui est positif
donc x<=12 !

@abdelkrim-amine
exo2:

On a:
delta=b²-4ac=b²-8ab+16a²=(4a-b)²>=0
=>x=(-b-|4a-b|)/2a ou x=(-b+|4a-b|)/2a
on sait rien sur 4a-b >=0 ou <=0

abdelkrim-amine a écrit:

achraf_djy a écrit:

Salam!
@abdelkrim-amine
exo1:

x dans D<==> x>=0 et 12-Vx>=0
<==> x>=0 et 144>=x
<==>x appartient à [0,144]
x=12-V(12-Vx)<==>12-x-V(12-Vx)=0
<==>V(12-Vx)(V(12-Vx)-1)=0
<==>V(12-Vx)=0 ou V(12-Vx)-1=0
<==>x=144 ou x=121
==>S={121,144}

On a 12-x = racine(12-racine(x)) qui est positif
donc x<=12 !

Oui tu a raison pas de solusion

achraf_djy a écrit:

@abdelkrim-amine
exo2:

On a:
delta=b²-4ac=b²-8ab+16a²=(4a-b)²>=0
=>x=(-b-|4a-b|)/2a ou x=(-b+|4a-b|)/2a
on sait rien sur 4a-b >=0 ou <=0

ça revient en même ... juste les solutions vont être permuté ! x1 devient x2 et x2 deviendra x1 !

oui

Exercice 5 :
l'equation est equivalente à
x1x2 = -2 et x1^2 + x2^2 = 5
ce qui equivalent à
(x1x2)^2 = 4 et x1^2 + x2^2 = 5 avec x1 et x2 ont des signes differents
x1^2 et x2^2 sont solutions de l'equation x^2-5x+4 = 0
donc x1^2 = 4 et x2^2 = 1 (ou inversement)
les solutions sont :
(2,-1) (1,-2) ou inversement !

Exercice 6 :
Si on multiplie par
on trouve : Equation (2) :
donc
donc x = + ou -1

Exercice 7 :

Or :
On trouve alors :
d'aprés les données on deduit:

donc a verifie
On remarque que a = 4 est une solution


or n'admet pas de solution (delta negatif)
donc a = 4

pour finir la démonstration de l'exo 7 :
on remplace a par 4 l'equation deviendra x²+4x+1 = 0
x1 = -2-rac(3) et x2 = -2+rac(3)
verifient bien la derniere relation !

Et pour finir, exo 4:
2)
On a:
P(x)=(x^3)/3-x/3+d
et
P(2)-P(1)=1*2
P(3)-P(2)=2*3
..
...
P(n+1)-P(n)=n(n+1)
--------------------------
P(n+1)-P(1)=1*2+2*3+...+n(n+1) ==>1*2+2*3+...+n(n+1) = ((n+1)^3 -(n+1))/3

achraf_djy a écrit:

Salam!
@abdelkrim-amine
exo1:

x dans D<==> x>=0 et 12-Vx>=0
<==> x>=0 et 144>=x
<==>x appartient à [0,144]
x=12-V(12-Vx)<==>12-x-V(12-Vx)=0
<==>V(12-Vx)(V(12-Vx)-1)=0
<==>V(12-Vx)=0 ou V(12-Vx)-1=0
<==>x=144 ou x=121
==>S={121,144}

salam:

l'équation admet un seul solution x=9.
essai de résoudre graphiquement, la 1ere bissectrice y=x et la fonction f(x)=12-v(12-vx)

tanmirt

amazigh-tisffola a écrit:

achraf_djy a écrit:

Salam!
@abdelkrim-amine
exo1:

x dans D<==> x>=0 et 12-Vx>=0
<==> x>=0 et 144>=x
<==>x appartient à [0,144]
x=12-V(12-Vx)<==>12-x-V(12-Vx)=0
<==>V(12-Vx)(V(12-Vx)-1)=0
<==>V(12-Vx)=0 ou V(12-Vx)-1=0
<==>x=144 ou x=121
==>S={121,144}

salam:

l'équation admet un seul solution x=9.
essai de résoudre graphiquement, la 1ere bissectrice y=x et la fonction f(x)=12-v(12-vx)

tanmirt

Oui

exo 1 :
on pose 12 =y+Vx equation devient x=y-Vx -Vy ---> x-y=-Vy -Vx ------>
(Vx -Vy)(VX +VY)=VY +VX
VX=VY ---> x=y
d'ou 12=x+Vx ------x=(12-x)²> apres on resoud et on trouve 9, 16 hors x<12 d'ou la seul solution est 9

pour l'exo 1:
x=9
exo2:
c'est la meme methode de mr abdelkarim
exo3et 4:
j'ai fait autrement que vos methodes
exo 5 :
l'equation est x^2-x-2
exo 6 : c'est banal
exo7: j'ai trouver que a=4 mais j'ai fait autrement
dsl les gars j suis presser maintenant je posterai mais methodes apres .en tous cas je vous félicite pour votre effort

voila pour exo1:
rac(12-rac(x))=12-x
il fait que x>0 et 12-rac(x) >0
=====> -rac(x)>-12
rac(x)<12
x<144
donc D=[0,144]
puis il faut que 12-x>0 ca veut dire x<12
donc x appartient [0,12]
on met: t=rac(x) ======>rac(12-t)=12-t²
on met aussi a=12donc: rac(a-t)=a-t²
===> a-t=a²-2at²+t^4==> a²-2at²+t^4-a+t=0
a²-(2t²+1)²a+t+t^4=0
donc delta= (2t-1)² >0
========> a=(2t²+1-2t+1)/2 et a=(2t²+1+2t-1)/2
a=t²-t+1 et a=t²+t avec a=12
donc
t²-t-11=0 et t²+t-12=0
delta=49 et delta=45

t=-4 et t=3 et t=(-1+3rac(5))/2

cependant 0<x<12===> 0<rac(x)<2rac(3)
===> 0<t<2rac3

on trouve que seulement 3 qui appartient à [0,2rac3]
donc t=3 ====>rac(x)=3 ===> x=9

S=9

Merci

Pour L'exercice 1 :
S= {9}

il suffit de apsser le 12 a gauche et de mettre au carré et on aura une équation de 4eme degré avec 3 et -4 comme solutions évidents