série v_n = o(u_n)

Soit u_n le terme général d'une série de réels positifs qui diverge. Montrer l'existence de v_n = o(u_n) telle que la série de t.g v_n diverge aussi.

Une suggestion :

S_n = sum_1^n u_i, les sommes partielles (-> +oo donc)

u_n/sqrt(S_n) + ... + u_p/sqrt(S_p) >= (u_n + ... + u_p) / sqrt(S_p) >= sqrt(S_p) - S_n/sqrt(S_p)

Maintenant on fixe n et on peut prendre p tel que |S_n/sqrt(S_p)| < 1
Les sommes partielles u_n/sqrt(S_n) + ... + u_p/sqrt(S_p) sont donc aussi grandes que l'on veut, aussi loin (= n arbitraire) que l'on veut : le critère de Cauchy n'est pas respecté et la série diverge.

On peut donc prendre v_n = u_n/sqrt(S_n)