bnjr!!
pour n=0 pas de solution
pour n>=1
par symétrie de rôle de x et y on peut supposer que x<y
(le cas de x=y clair)
montrons d'abord que x>=n
par absurde si x<n
on a x! + y!=x!(1 +y(y-1)....(x+1))=3^n *n!
<=> 1 +y(y-1)....(x+1)= 3^n *(n!/x!)
=> 3/1 +y(y-1)....(x+1)
par une simple disjonction de cas ( y=x+1 et y=x+2) => y>=x+3
d ou 3/y(y-1)....(x+1) (3 devise le produit de 3 nombres successives)
et 3/1 +y(y-1)....(x+1)
=> 3/1 absurde
revenons maintenant a notre objectif
(1,2,1) et (2,1,1) sont des solutions triviales du prob!
x!+y!=x!(1 +y(y-1)....(x+1))=3^n * n!
(x!/n!)(1+y(y-1)...(x+1))=3^n
pour y>=x+3
-si 1+y(y-1)...(x+1) est premier (diff de 3) c est fini puisque (1+y(y-1)...(x+1)/3^n)
-si non il admet un diviseur premier (diff de 3) puisque 3/y(y-1)....(x+1)
c est fini
pour les cas de y=x+1:
-si x>n
(x!/n!)*(x+2)=3^n <=>A*(x+1)(x+2)=3^n (2/A*(x+1)(x+2) => 2/ 3^n absurde)
pour x=n on trouve (1,2,1)
pour le cas de y=x+2:
(x!/n!)*(1+(x+2)(x+1))=3^n => 3/x
- si x=n et x=n+1:
1+(n+2)(n+1)=3^n pas de solution
(n+1)*(1+(n+3)(n+2))=3^n
-si x>=n+2:
on a 3/x donc x-1 admet un diviseur premier p diff de 3 (ou bien il est premier) => p/3^n absurde
enfinn!! les solutions sont (1,2,1) et (2,1,1)
sauf erreur bien entendue!!
a+
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