Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année:

Je vous propose un exercice qui a résisté pendant quatre années face à moi, il fait partie des activités de prolongement dans la leçon des statistiques, le voici:
Un journaliste britannique dit:
Un jour, j'ai visité le café de la campagne, j'ai ouî le secrétaire de la ligue sportive me réclame: "Parmi 100 membres inscrits, 90 pratiquent le golf, 80 pratiquent le cricket, et 70 pratiquent le tennis".
Je lui ai répondu baîllement: "Je te crois, mais je suppose qu'il existe des membres paresseux, tel que d'autres clubs du même type?".
Il m'a dit: "Ils sont rares, en réalité, il existe des membres qui pratiquent les trois sports, leur nombre vaut 19 fois le nombres de ceux qui ne pratiquent aucun des trois sports. Seuls, ceux qui ont préféré de pratiquer un seul sport sont les joueurs du golf".
Quel est le nombre des membres de cette ligue qui pratiquent trois sports, de ceux qui pratiquent deux sports, et de ceux qui se contentent de pratiquer un seul sport?
Et quels sports pratiquent chacun d'eux?
Bonne chance.

Solution au problème :
Nommons E l'ensemble des membres du club, d'après l'énoncé nous avons card(E)=100.
Nommons A,B et C les ensembles de ceux qui pratiquent le golf,le cricket et le tennis respectivement. Nous avons card(A)=90 et card(B)=80 et card(C)=70.
Nous avons aussi, $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ , ainsi $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ . Ce qui répond à la première question.
Pour la seconde question, on se doit de trouver le cardinal de l'union de l'intersection combinaison de deux ensembles, A et B, et A et C, et B et C :
L'expression : " Seuls, qui ont préféré de pratiquer un seul sport sont les jours de golf" peut se traduire en le fait que chaque élément x appartenant à B ou C doit obligatoirement appartenir à l'intersection d'un ensemble avec celui où il appartient d'origine.
Ainsi on déduit que : $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ . Ainsi : $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif.latex?card((A\cap&space;B)\cup&space;(A\cap&space;C)\cup&space;(B\cap&space;C))=\sum_{sym}&space;card(A)-card(A\cup&space;B\cup&space;C)-card(A\cap&space;B\cap&space;C)$ .
En posant $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ . Nous avons : $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ .
Pour la dernière question qui est de préciser quels sports pratiquent chacun d'eux.
Compte tenu que $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ et ce car quelqu'un qui pratique un sport en dehors du golf, doit obligatoirement pratiquer un autre ou d'autres sports en dehors de ce dernier.
Ainsi on déduit que : $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$
Et $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif.latex?card(A\cap&space;C)=card(A\cup&space;C)-card(A)-card(C)=k-160$ . Et :
$Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ .
A mon avis la donnée k a été éludée, mais elle doit être présente dans les données.

Expert sup Nombre de messages : 817 Age : 31 Date d'inscription : 31/10/2009

Une petite bavure dans ta première égalité Smile

le reste j'ai pas bien compris .

On sait qu'il existe 95 personnes pratiquant les 3 sports or il n'y a que 80 joueur de cricket c'est contradictoire ?!

Oui en effet, j'ai fait une faute, j'ai cru que les membres qui pratiquent les trois sports vaut 19 fois ceux qui ne pratiquent pas un seul sport.

Mehdi.O a écrit:: L'expression : " Seuls, qui ont préféré de pratiquer un seul sport sont les jours de golf" peut se traduire en le fait que chaque élément x appartenant à B ou C doit obligatoirement appartenir à l'intersection d'un ensemble avec celui où il appartient d'origine.
Ainsi on déduit que : $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ .

J'ai une question à poser, et qui me semble utile:
De ce qui est en rouge, ne peut-on pas déduire que $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ et $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ ?

nmo a écrit:

Mehdi.O a écrit:: L'expression : " Seuls, qui ont préféré de pratiquer un seul sport sont les jours de golf" peut se traduire en le fait que chaque élément x appartenant à B ou C doit obligatoirement appartenir à l'intersection d'un ensemble avec celui où il appartient d'origine.
Ainsi on déduit que : $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ .

J'ai une question à poser, et qui me semble utile:
De ce qui est en rouge, ne peut-on pas déduire que $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ et $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ ?

Non, bien sûr. On pourrait le dire si l'expression était du genre " Ceux qui pratiquent le golf, ne pratiquent aucun autre sport en dehors de ce dernier".
En d'autres mots, on peut diviser les joueurs de golfs en deux parties, ceux qui pratiquent seulement le golf, et d'autres qui pratiquent un autre sport( et le golf évidemment), mais cette division ne peut être faite pour les autres sports, car d'avance on sait qu'ils en pratiquent deux au moins.

Mehdi.O a écrit:: Non, bien sûr. On pourrait le dire si l'expression était du genre " Ceux qui pratiquent le golf, ne pratiquent aucun autre sport en dehors de ce dernier".
En d'autres mots, on peut diviser les joueurs de golfs en deux parties, ceux qui pratiquent seulement le golf, et d'autres qui pratiquent un autre sport( et le golf évidemment), mais cette division ne peut être faite pour les autres sports, car d'avance on sait qu'ils en pratiquent deux au moins.

Il y a un certain "ceux" qui manque, c'est édité dans mon message initial.
Et par conséquent, la phrase indique que les joueurs de golf ne pratiquent que le golf et aucun autre sport.
Et il me semble que le cardinal de l'intersection de A et B est nul, ai-je tort?
Si oui, je ne vois pas ou est mon erreur de raisonnement.

Si c'est cela, alors oui le cardinal de l'intersection est nul, mais dans l'énoncé tu n'as pas dit çà.
Tu as dit que " ceux qui pratiquent un seul sport sont ceux du golf" ça veut dire que l'ensemble de ceux qui pratiquent un seul sport est inclus dans A, mais cela n'implique pas nécessairement que tout individu pratiquant le golf, n'en pratique pas un autre.
J'espère que tu as compris.
Il suffit de dessiner un diagramme pour y voir plus clair.

Mehdi.O a écrit:: Si c'est cela, alors oui le cardinal de l'intersection est nul, mais dans l'énoncé tu n'as pas dit çà.
Tu as dit que " ceux qui pratiquent un seul sport sont ceux du golf" ça veut dire que l'ensemble de ceux qui pratiquent un seul sport est inclus dans A, mais cela n'implique pas nécessairement que tout individu pratiquant le golf, n'en pratique pas un autre.
J'espère que tu as compris.
Il suffit de dessiner un diagramme pour y voir plus clair.

Ce qui est en rouge est tellement faux, au moins pour moi.
Oublions cela, tu sais maintenant que je fais allusion seulement à:

Citation :: les joueurs de golf ne pratiquent que le golf et aucun autre sport.

Expert sup Nombre de messages : 1665 Age : 30 Date d'inscription : 05/03/2010

Mehdi.O a écrit:: Solution au problème :
Nommons E l'ensemble de ceux qui pratiquent les trois sports, d'après l'énoncé nous avons card(E)=100.
Nommons A,B et C les ensembles de ceux qui pratiquent le golf,le cricket et le tennis respectivement. Nous avons card(A)=90 et card(B)=80 et card(C)=70.
Nous avons aussi, $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ , ainsi $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ .

Non, je ne pense plus que la premiére égalité est juste. Car $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ , t'as confendu entre ceux qui ne pratiquent aucun sport, et ceux qui ne pratiquent pas 3 sports. L'équation qui la suit l'est aussi.

La base de la solution est malheureusement n'est pas bien construit, ce qui est en rouge est également faux. Car t'as négligé ceux qui ne pratiquent aucun sport qui sont parmi les 100 membres.
Et il y a ceux qui pratiquent 2 sports seulement, donc il ne fallait pas dire que E représente l'ensemble de ceux qui jouent les 3 sports.

Et l'expression

Citation :: Les joueurs de golf ne pratiquent que le golf et aucun autre sport.

est clairement fausse. Vu que le nombre de ceux qui jouent que du golf est de 90, or il existe 80 parmi ceux qui pratiquent du Cricket. Sans compter ceux qui pratiquent le Tennis, on aura surement 160 joueurs au totale > 100 le nombre totale des membres.

Je vous partage mon point de vue sur ce qui se cache derriére l'expression discuté, et le probléme tout entiére.

Solution :

Notons E l'ensemble de tout les membres du club, on a card(E)=100.
G l'ensemble des membres qui jouent du Golf. On alors card(G)=90
C l'ensemble des membres qui jouent du Cricket. On alors card(C)=80
T l'ensemble des membres qui jouent du Tennis. On alors card(T)=70
Et A l'ensemble des membres qui ne jouent aucun sport (Les paresseux).
On note également P l'ensemble de ceux qui jouent du Golf et du Cricket seulement.
M l'ensemble de ceux qui jouent du Golf et du Tennis seulement.
r l'ensemble de ceux qui jouent au Tennis et au Cricket seulement.
S l'ensemble de ceux qui jouent du golf seulement.

Premiérement, on a Card(T n C n G)=19Card(A) et que Card(T n C n G)<=Card(T)=70 alors Card(A)<=70/19 qui implique Card(A)=3 ou Card(A)=2 ou Card(A)=1 ou Card(A)=0. Et de ce fait on arrive à conaître le Card(A)=a et le Card(T n C n G)=i. Donc i=19a.

L'expression "Seuls, ceux qui ont préféré de pratiquer un seul sport sont les joueurs du golf" peut-être reconstruit de tel maniére qu'il soit parmi les joueurs du Golf, il y a ceux qui jouent le Golf seulement, et le mot "seuls" affirme que ceux qui appartient aux ensemble C ou T pratiquent au moins 2 sports. C-à-d dans l'ensemble G il y a 4 genres de membres, ceux qui jouent seulement le Golf, ceux qui jouent le Golf et le Tennis seulement, ceux qui jouent le Golf et le Cricket seulement, et ceux qui jouent les trois sports.

Maintenant, l'aimbiguîté du probléme s'enléve, et on arrive à compter les cardinaux de toutes les ensembles de la maniére suivante:

On sait que Card(S) = Card(G) - (Card(p) + Card(M) + Card(G n C n T)) (*)
Et que Card(E) = Card(p) + Card(M) + Card(r) + Card(G n C n T) + Card(S) + Card(A) (**)
De (*) et (**) on tire Card(E) = Card(G) - Card(S) + Card(r) + Card(S) + Card(A) donc Card(r)=10 - a
De l'explication que j'ai présenté on a Card(T) = Card(M) + Card(r) + Card(C n G n T)
=> Card(M)=70-(10-a)-i=60+a-i=60-18a
Suivant le même raisonnement, pour avoir Card(C) = Card(p) + Card(r) + Card(C n G n T)
=> Card(P)=70+a-i=70-18a
Et Card(S)=Card(G)-(Card(p)+Card(M)+Card(G n C n T)) = 90 - (70+a-i + 60+a-i + i)
= i-2a-40 = 17a-40 Card(S)

De plus, Card(S)=17a-40>=0 alors a>=3. Et on sait bien que a=Card(A)=<3 alors a=Card(A)=3 Donc Card(r)=7 et Card(M)=6 et Card(P)=16 et Card(G n C n T)=57 et Card(S)=11. Et en sommant, on trouve 100 comme totale. Ce qui met fin à la démonstration.

Expert sup Nombre de messages : 1665 Age : 30 Date d'inscription : 05/03/2010

Il y a donc 57 qui pratiquent les 3 sports, et 7+6+16=29 qui pratiquent 2 sports (Tennis-Golf ou Golf Cricket ou Tennis-Cricket) et 11 pratiquant un seul sport (jouant du Golf selon l'énoncé) et biensûre 3 paresseux : )

Et je pense qu'on ne peut pas avoir $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ ou bien $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ dans cette situation... sinon on tombe dans 160 membres.

J'attend vos interventions.

M.Marjani a écrit:: J'attend vos interventions.

Puisque j'ai du temps, j'ai bien lu ce que tu as avancé.
Je trouve que c'est bon maintenant.

M.Marjani a écrit:: L'expression "Seuls, ceux qui ont préféré de pratiquer un seul sport sont les joueurs du golf" peut-être reconstruit de tel maniére qu'il soit parmi les joueurs du Golf, il y a ceux qui jouent le Golf seulement, et le mot "seuls" affirme que ceux qui appartient aux ensemble C ou T pratiquent au moins 2 sports. C-à-d dans l'ensemble G il y a 4 genres de membres, ceux qui jouent seulement le Golf, ceux qui jouent le Golf et le Tennis seulement, ceux qui jouent le Golf et le Cricket seulement, et ceux qui jouent les trois sports.
Maintenant, l'aimbiguîté du probléme s'enléve

Cela reste polysémique, et c'est bien de penser de cette manière.

Maître Nombre de messages : 123 Date d'inscription : 29/06/2011

salut!je voudrais s'il vous plait comprendre une partie du raisonnement de mehdi.o :il a écrit :
Nous avons aussi, $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ , ainsi $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ .
comment il a pu passé de 19 à 20 et tt?!j n'arrive vraiment pas à comprendre !!!!!!!!! confused

manazerty a écrit:: salut!je voudrais s'il vous plait comprendre une partie du raisonnement de mehdi.o :il a écrit :
Nous avons aussi, $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ , ainsi $Un problème issu du livre de mathématiques de la 8ème année: Gif$ .
comment il a pu passé de 19 à 20 et tt?!j n'arrive vraiment pas à comprendre !!!!!!!!!

Il s'agit d'une faute d'inattention peut-être.
De plus, sa solution ne répond pas au problème.

» livre de mathématiques pour le Tronc commun ( exclu )
» livre: probleme et solution
» Probleme de le 14 olympiade pan africaine de Mathematiques
» Un joli problème des complexes tiré du livre
» du livre