Si n=2, le polynôme caractéristique de A est :
X²-tr(A)X+det(A)=X²+det(A)
dont les racines dans C sont iV(det(A)) et -iV(det(A))
distinctes car det(A)#0 puisque rg(A)=2. Donc A est diagonalisable dans M2(C).
Si n>2, on géométrise, soit f l'endomorphisme de C^n dont la matrice dans la base canonique est A. rg(f)=2 ==> dim Ker(f)=n-2 ( théorème du rang)
Soit {x_1,x_2,...,x_(n-2)} une base de Ker(f). On la complète en une base de C^n , {x_1,x_2,...,x_(n-2),x_(n-1),x_n}
La matrice de f dans cette base s'écrit:
0... 0 * *
. . ..
0... 0 * *
0 ...0 a c
0 ...0 b -a
La diagonale est (0,...,0,a,-a) car la trace est nulle ( tr(A)=tr(P^(-1)AP) invariant de similitude)
Mais det(A-µI)=(-µ)^(n-2) ( µ²-a²-bc) alors les valeurs propres de A sont
0 d'ordre de multiplicité n-2 et deux complexes conjugués
( A^n#0 alors a²+bc#0) . Donc A est diagonalisable
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