- karimaths a écrit:
- On note B1=(e1,e2,e3) la base canonique de R^3
et on considere les demi tours A et B d'axes engendrés par e1+e2
et e1+e2+(racine de 2)e3 (respectivement)
1) que peut-on dire de A^2=AoA et B^2=BoB ?
2) determiner les matrices dans la base B1 de A et B
Merci pour d'avance pour votre aide
BJR karimaths !!
Tes transformations sont tout simplement des Symétries Axiales et c'est pas mieux comme celà !!
et ce sont donc des applications linéaires de IR^3 dans lui-même.
Pour ta Question 1) : c'est immédiat ..... AoA=BoB=Id ; Transformation Identique de l'Espace ....
On peut alors anticiper et affirmer que |DétA|=|DétB|=1
Pour ta Question 2) : L'espace étant rapporté à un repère orthonormé {O; e1,e2,e3}
Soit (D) une Droite passant par l'origine O et de vecteur directeur non nul U(a,b,c).
Si M(x,y,z) est un point générique de l'espace , on appellera M'(x',y',z') son symétrique par rapport à (D)
et H(u,v,w) son Projeté Orthogonal sur (D) .
On a :
Vect(OH)=t.Vect(U) avec t scalaire réel
Vect(HM).VECT(U)=0 il s'agit ICI du Produit Scalaire de Vecteurs
Vect(OM)+Vect(OM')=2.Vect(OH)
Toutes ces égalités traduisent des Propriétés Géométriques et se traduisent analytiquement ainsi :
(*) u=a.t v=b.t et w=c.t
(**) a.(x-u)+b.(y-v)+c.(z-w)=0
(***) x+x'=2.u y+y'=2.v et z+z'=2.w
On remplace dans (**) u , v et w par leurs expressions pour obtenir :
a.x + b.y + c.z = t.{a^2+b^2+c^2}
D'ou t={a.x + b.y + c.z}/{a^2+b^2+c^2}
Pui , on remplace dans (***) pour obtenir :
x'=-x + 2.a.{a.x + b.y + c.z}/{a^2+b^2+c^2}
y'=-y + 2.b.{a.x + b.y + c.z}/{a^2+b^2+c^2}
z'=-z + 2.c.{a.x + b.y + c.z}/{a^2+b^2+c^2}
et si tu arranges un peu plus , tu trouveras :
x'={(a^2-b^2-c^2).x + 2.a.(b.y + c.z)}/{a^2+b^2+c^2}
y'={(b^2-a^2-c^2).y + 2.b.(a.x + c.z)}/{a^2+b^2+c^2}
z'={(c^2-b^2-a^2).z + 2.c.(a.x + b.y)}/{a^2+b^2+c^2}
Applications Numériques .
1) U(1,1,0) donc a=b=1 et c=0
donc A a pour Matrice :
2) U(1,1,RAC(2)) donc a=b=1 et c=RAC(2)
donc B a pour Matrice :
Bonne Découverte !! LHASSANE
PS : Pourquoi utiliser la Terminologie 'Demi-Tour' alors que Symétrie Axiale est davantage connu !!!
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