endomorphisme nilpotent

salut
Soit E un IR e v de dimension finie n > 2 et f endomorphisme de E nilpotent d'indice de nilpotence p et
de rang :rg(f) = n-1
montrer que p = n
bon courage

Salam Aissa ..
comme f est d'indice de nilpotence p , il existe un x_o de E tels que la famille
(x_o,....f^{p-1}(x_o)) est libre d'ou p=<n par le lemme de steinitz d'autre part
on connait que :
rg(f^{i}) - rg(f^{i+1}) = dim(Im(f^i) inter Ker(f)) pour tout i£ IN
d'ou on déduit que rg(f^{i}) - rg(f^{i+1}) =< 1 car dim(Im(f^i) inter Ker(f)) =< dim(Kerf)=1
en introduisant une somme de i=1 jusqu'a p-1 on obtient que
rg(f) =< p-1 d'ou p >= n .
Ainsi p=n

bravo alidos
2)avec les mêmes hypothèse que 1) montrer que les seuls sous espaces stables par f sont les
Ker(f^k) ; k€ {0,1,...,n}
bon courage

soit V un sous espace vectoriel de E stable par f.
On considere g la restriction de f sur V.alors g est un endomorphisme de L(V).
On considere le suite u_n=dim(g^k(V)) .Il s'agit bien d'une suite decroissante a valeurs dans N.donc stationnaire.soit r le plus petit rang pour lequel la suite est stationnaire .On prouve que r<=n:
car sinon la suite est strictement decroissante et donc u_r<0 absurd.
pour la strict monotonie la preuve est simple : par absurd si il existe un indice i minimale <r pour lequel u_{i}=u_{i+1}
alors g^i(V)=g^(i+1)(V) et par reccurence :g^i(V)=g^k(V) pour tout k >=i d'ou la suite est stationnaire a partir de i.
puisque g^n(V)=0
on deduit que g^r(V)=0 et donc V appartient au Kerf^r.
reciproquement l'ensemble Ker(f^k) ; k€ {0,1,...,n} est stable par f .d'ou la conclusion.

bjr aymas
montrer que si V est un sous espace de E tq : f(V) C V alors il existe k €[|0,n|] tq
V = Ker(f^k)
Bon courage