f nilpotent lorsque fg-gf=f

Salut,
Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg-gf = f. Montrer que f est nilpotent.

Bonjour,

C'est un exercice très important pour lequel tu peux utiliser plusieurs méthodes :

Tout commence par montrer que : f^k g - g f^k = k f^k par récurrence immédiate.

Après :

1- tu peux dire que si f n'est pas nilpotent l'endomorphisme de L(E) qui à h associe hg-gh admettrait une infinité de valeurs propres (car f^k serait un vecteur propre associé à la valeur propre k, pour tout k) ce qui contredit le fait que E soit de dimension finie.


2-tu peux également passer à la trace et en utilisant que tr(ab)=tr(ba) :
on trouve que pour tout k tr(f^k)=0, qui en trigonalisant et en utilisant le déterminant de vandermonde te donne que f est nilpotent (toutes ses valeurs propres sont nulles).

3-Enfin, tu peux considérer une norme d'algèbre sur E (on ne cherche pas plus de précisions car toutes les normes sont équivalentes) :
on obtient par l'inégalité triangulaire que :

||k f^k || =< 2 ||f^k|| ||g|| si f n'est pas nilpotent, pour tout k : k=< constante ce qui est absurde.


On peut remarquer que les trois preuves utilisent le meme argument de base : E est de dimension finie ...

Je n'ai pas très bien compris la 3ème si tu pouvais détailler un peu , merci.

On introduit une norme d'algèbre sur L(E) (norme d'algèbre c'est une norme qui vérifie : ||fg||=<||f|| ||g|| , il en existe et on ne détermine pas c'est laquelle car on s'en fout du moment où on est en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes)

on a : f^k g - g f^k = k f^k

on introduit la norme : ||f^k g - g f^k|| = k || f^k ||

donc : k || f^k || =< ||f^k g ||+||g f^k|| =< 2 ||f^k|| ||g||

si f n'est pas nilpotent on peut simplifier et on obtient : pour tout k, k =< 2||g||

ce qui est absurde.

Merci pour le plus que tu mets dans tes réponses, callo

Sans problèmes; voici une dernière méthode pour la route :

f^k g - g f^k = k f^k

donc par linéarité, on a pour tout polynôme P :

P(f) g - g P(f)= f P'(f) où P' désigne la dérivée de P

On prend P le polynôme minimal de f, et on obtient ,

fP'(f)=0

Donc X P'(X) annule f également. Or, deg(P)=deg(XP'(X)) donc ils sont proportionnels donc
P(X)=X^r

d'où f est nilpotent.

J'aime bien aussi la dernière
A la base j'étais sur la deuxième piste qui me semble tout de même être une caractérisation élégante (au risque de dire essentielle ?) des nilpotents.

Oui, la caractérisation des nilpotents par la trace est très importante.

Cependant, la preuve avec les normes demeure la plus générale. (car nécessite juste un espace vectoriel normé, dont la norme subordonnée est une norme d'algèbre)