Valeur absolue ultramétrique sur Q

Trouver la forme générale des valeurs absolues ultramétriques sur Q.
Énoncé autrement, trouver toutes les fonctions f : Q --> R+ qui vérifient :
i) f(x)>=0 et f(x)=0 <===> x=0
ii) f(xy)=f(x)f(y)
iii) f(x+y) <= max(f(x),f(y))
pour tous x,y de Q.

f(1)=1, f(-1)=1 et f paire
x#0, f(1/x)=1/f(x)
x=a/b avec (a,b)=1 a et b€N, f(x)=f(a)/f(b)

si n€N*, f(n)=f(1+...+1)=<f(1) ==> f(n)=<1

il existe n€N*: f(n)<1 ( Sinon, qqs n€N, f(n)=1 ==> qqs x€Q*, f(x)=1 , val.abs. triviale)

n=p1^a1....ps^as (décomposition de n en facteurs premiers)
==> f(n)=f(p1)^a1....f(ps)^as<1
==> l'un au moins des f(pi)<1
==> il existe un nombre premier p : f(p)<1
p est unique, en effet si (q ,p)=1 et f(q)<1
==>(p^s,q^s)=1 qqs s€N*
==> up^s+vq^s=1 pour un certain couple (u,v)€Z² (Bezout)

1=f(up^s+vq^s)=<Max(f(up^s),f(vq^s))=Max(f(p)^s,f(q)^s) qqs s€N*, absurde
==> f(q)=1

Soit n€N*, n=mp^a avec (m,p)=1
l'entier a est le plus grand exposant de p : p^a divise n : a=v_p(n) ( p-valuation de n)

==> f(n)=f(m)f(p)^v_p(n)
==> f(n)=f(p)^v_p(n) car (m,p)=1==> f(m)=1

Donc : qqs x€Q*, f(x)=f(p)^v_p(x) . où v_p(a/b)=v_p(a)-v_p(b)

Oui, sauf que...

abdelbaki.attioui a écrit:

il existe n€N*: f(n)<1 ( Sinon, qqs n€N, f(n)=1 ==> qqs x€Q*, f(x)=1 , val.abs. triviale)

C'en est une tout de même, non ?

abdelbaki.attioui a écrit:

1=f(up^s+vq^s)=<Max(f(up^s),f(vq^s))=Max(f(p)^s,f(q)^s) qqs s€N*, absurde

Pourquoi Max(f(up^s),f(vq^s))=Max(f(p)^s,f(q)^s) ?
La contradiction peut s'obtenir plus naturellement avec : 1=f(up+vq)<=max(f(up),f(vq)) < 1, car f(up)=f(u)f(p)<1 et f(vq)=f(v)f(q)<1.

abdelbaki.attioui a écrit:

Donc : qqs x€Q*, f(x)=f(p)^v_p(x) . où v_p(a/b)=v_p(a)-v_p(b)

Donc la forme générale est : f(x)=a^v_p(x) pour x non nul et f(0)=0, où a appartient à ]0,1] (1 est le cas dégénéré où la valeur absolue devient triviale) et p un nombre premier arbitraire.

Voir également ici : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=36&t=372842
Il est en particulier sous-entendu que ce problème est un cas particulier du théorème d'Ostrowski.

Dijkschneier a écrit:

Oui, sauf que...

abdelbaki.attioui a écrit:

il existe n€N*: f(n)<1 ( Sinon, qqs n€N, f(n)=1 ==> qqs x€Q*, f(x)=1 , val.abs. triviale)

C'en est une tout de même, non ?

abdelbaki.attioui a écrit:

1=f(up^s+vq^s)=<Max(f(up^s),f(vq^s))=Max(f(p)^s,f(q)^s) qqs s€N*, absurde

Pourquoi Max(f(up^s),f(vq^s))=Max(f(p)^s,f(q)^s) ?
La contradiction peut s'obtenir plus naturellement avec : 1=f(up+vq)<=max(f(up),f(vq)) < 1, car f(up)=f(u)f(p)<1 et f(vq)=f(v)f(q)<1.

abdelbaki.attioui a écrit:

Donc : qqs x€Q*, f(x)=f(p)^v_p(x) . où v_p(a/b)=v_p(a)-v_p(b)

Donc la forme générale est : f(x)=a^v_p(x) pour x non nul et f(0)=0, où a appartient à ]0,1] (1 est le cas dégénéré où la valeur absolue devient triviale) et p un nombre premier arbitraire.

Voir également ici : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=36&t=372842
Il est en particulier sous-entendu que ce problème est un cas particulier du théorème d'Ostrowski.

1) OUI f(x)=1 si x€Q* et f(0)=0 c'est une val.abs ultramétrique

2) En fait, 1=f(up^s+vq^s)=<Max(f(up^s),f(vq^s))=<Max(f(p)^s,f(q)^s) qqs s€N*
et lim (s-->+00)Max(f(p)^s,f(q)^s) =0