| Une chasse d'angles facile | |
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ali-mes Expert sup
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![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Une chasse d'angles facile Ven 17 Juin 2011, 17:03 | |
| Soit ABC un triangle. Et soit D un point de [AC] tel que BD=CD. Une droite parallèle à (BD) coupe [BC] en E et (AB) en F. (AE) et (BD) se coupent en G. Montrer que ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{BCG}=\widehat{BCF}) | |
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ali-mes Expert sup
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![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: Une chasse d'angles facile Sam 18 Juin 2011, 14:58 | |
| Toujours pas de réponse, c'est pas très difficile ... | |
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kaj mima Expert grade1
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![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: Une chasse d'angles facile Sam 18 Juin 2011, 16:28 | |
| - ali-mes a écrit:
- Soit ABC un triangle. Et soit D un point de [AC] tel que BD=CD.
Une droite parallèle à (BD) coupe [BC] en E et (AB) en F.
(AE) et (BD) se coupent en G.
Montrer que ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{BCG}=\widehat{BCF}) D un point de la droite (AC), ce n'est pas nécessaire que ç a soit du segment [AC], et puis ce n'est pas toujours valable que D ∊ [AC] avec BD=CD, c'est le cas où la médiatrice de [BC] ne passe pas par le segment [AC] mais par la droite (AC). ![Very Happy](https://2img.net/i/fa/i/smiles/icon_biggrin.png) | |
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ali-mes Expert sup
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![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: Une chasse d'angles facile Sam 18 Juin 2011, 17:25 | |
| pour l'exercice, je l'ai copié tel qu'il est... (un ancien exo proposé par Mr.Houssa dans la section géométrie et pas encore résolu). la condition de BD=CD est suffisante pour savoir que ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{DBC}=\widehat{DCB}) (au moins, c'est ce que j'ai utilisé). | |
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Mehdi.O Expert sup
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![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: Une chasse d'angles facile Sam 18 Juin 2011, 18:45 | |
| - ali-mes a écrit:
- pour l'exercice, je l'ai copié tel qu'il est... (un ancien exo proposé par Mr.Houssa dans la section géométrie et pas encore résolu). la condition de BD=CD est suffisante pour savoir que
(au moins, c'est ce que j'ai utilisé). Peux-tu poster ta solution ![Very Happy](https://2img.net/i/fa/i/smiles/icon_biggrin.png) ? | |
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ali-mes Expert sup
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![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: Une chasse d'angles facile Sam 18 Juin 2011, 18:45 | |
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Mehdi.O Expert sup
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![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: Une chasse d'angles facile Sam 18 Juin 2011, 19:22 | |
| En attendant que Ali poste sa solution avec la chasse d'angle, je poste la mienne car elle est différente, et je voudrais bien voir une avec une chasse d'angle. Ma solution:- Spoiler:
![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Angle10](https://i.servimg.com/u/f21/15/61/79/59/angle10.png) En effectuant la loi des sinus dans les deux triangles ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&space;BGC) et ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&space;EFC) , et tenant compte que ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\angle&space;FEC=\pi&space;-\angle&space;ACB) . On a : ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{sin\angle&space;GCB}{BG}=\frac{sin\angle&space;ACB}{GC}) et ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{sin\angle&space;ECF}{EF}=\frac{sin\angle&space;ACB}{FC}) . Il suffit donc de prouver que : ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{EF}{BG}=\frac{FC}{GC}=\frac{AB}{AF}) . Maintenant on dessine la droite passant par B et parallèle à (FC), celle-ci coupe [AC] en I. Ainsi il suffit de prouver que : ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?BI=CG) . Or, par Thalès : ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{AB}{AF}=\frac{AI}{IC}=\frac{AG}{AE}\Rightarrow&space;GI\left&space;|&space;\right&space;|BC) . Et puisque ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?BD=DC) les deux triangles ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&space;CGI) et ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&space;BGI) sont isométriques, cela implique finalement que ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?BI=CG) . Le résultat en découle.
Dernière édition par Mehdi.O le Dim 19 Juin 2011, 10:00, édité 1 fois | |
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ali-mes Expert sup
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![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: Une chasse d'angles facile Sam 18 Juin 2011, 19:41 | |
| Après avoir dessiné une figure (en respectant l'énoncé), notons ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X=(AC)\cap%20(EF)) . On a ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{XCE}=\widehat{DCB}) . Et on a ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile (BD)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(EX)//(BD)) et ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(AC)) les coupent donc ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{CXE}=\widehat{CDB}) Et on a ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile (BD)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(EX)//(BD)) et ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(BC)) les coupent donc ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{CEX}=\widehat{CBD}) Donc les triangles CEX et CBD sont semblables, et puisque CD=BD alors EX=CX. Et on a ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile (FX)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(BD)//(FX)) donc d'après Thalès : ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{BD}{FX}=\frac{AD}{AX}) Et on a ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile (EX)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(GD)//(EX)) donc d'après Thalès : ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{GD}{EX}=\frac{AD}{AX}) D'où ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{BD}{FX}=\frac{GD}{EX}) . Et on a BD=CD et EX=CX donc ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{CD}{FX}=\frac{GD}{CX}) d'où ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{CD}{GD}=\frac{FX}{CX}) : ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\alpha%20)) Et on a ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{CME}=\widehat{CDB}) et on a ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{CDB}=\widehat{CDG}) donc ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{CXE}=\widehat{CDG}) : ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\beta%20)) De ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\alpha%20)) et ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\beta%20)) on conclut que CDG et FXC sont semblables. Donc ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{GCD}=\widehat{XFC}) Et on a ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{GCB}=\widehat{ACB}-\widehat{GCD}) : ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1)) Et on a ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{matrix}%20\widehat{EFC}+\widehat{FCE}+\widehat{CEF}=\pi%20\\%20\widehat{EFC}+\widehat{FCE}=\pi%20-\widehat{CEF}\\%20Et\;%20on\;%20a\;%20\widehat{XEC}+\widehat{CEF}=\pi\\%20\widehat{XEC}=\pi%20-%20\widehat{CEF}\\%20donc%20\;%20\widehat{XEC}=\widehat{EFC}+\widehat{FCE}\\%20\widehat{XEC}=\widehat{XFC}+\widehat{FCE}\\%20\end{matrix}) Et on a ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{XEC}=\widehat{DBC}=\widehat{DCB}) D'où ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Leftrightarrow%20\widehat{FCE}=\widehat{DCB}-\widehat{XFC}) Donc ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{BCF}=\widehat{ACB}-\widehat{GCD}) : ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(2)) (car ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{GCD}=\widehat{XFC}) ) De (1) et (2) on conclut que ![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{BCG}=\widehat{BCF}) CQFD. J'attends vos remarques et observations. | |
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Mehdi.O Expert sup
Nombre de messages : 815 Age : 28 Localisation : Rabat Date d'inscription : 23/07/2010
![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: Une chasse d'angles facile Sam 18 Juin 2011, 19:50 | |
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ali-mes Expert sup
Nombre de messages : 986 Age : 28 Localisation : Tétouan Date d'inscription : 01/10/2010
![what do all interia angles in a pentagon add up to - Une chasse d'angles facile Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: Une chasse d'angles facile Sam 18 Juin 2011, 19:54 | |
| Mehdi.O, j'aimerais bien savoir comment faire pour dessiner les figures, comme tu as fait dans ton post précédant. | |
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Mehdi.O Expert sup
Nombre de messages : 815 Age : 28 Localisation : Rabat Date d'inscription : 23/07/2010
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| - ali-mes a écrit:
- Mehdi.O, j'aimerais bien savoir comment faire pour dessiner les figures, comme tu as fait dans ton post précédant.
Télécharges ce logiciel : Geogebra ![Wink](https://2img.net/i/fa/i/smiles/icon_wink.gif) . | |
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ali-mes Expert sup
Nombre de messages : 986 Age : 28 Localisation : Tétouan Date d'inscription : 01/10/2010
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