un peu de géométrie

1)- Soit ABCD un quadrilatère inscriptible, et considérons les points E,F,G et H les centres des cercles inscrits aux triangles ABC, BCD, CDA, et ABD respectivement.

Montrer que EFGH est un rectangle.

2) Soit ABCD un quadrilatère inscriptible, et considérons les points I,J,K et L les orthocentres des triangles ABC, BCD, CDA, et ABD respectivement.

Montrer que IJKL est un quadrilatère similaire à ABCD.

3)- Soit ABCD un quadrilatère inscriptible, et considérons les points M,N,O et P les centres de gravité des triangles ABC, BCD, CDA, et ABD respectivement.

Montrer que MNOP est un quadrilatère inscriptible.

Je présenterais juste la solution du premier, après je verrais les deux autres :

Par symétrie entre les points A,B,C et D nous nous limiterons à montrer que le quadrilatère BEFC est inscriptible.
Nous avons : angle{ECF}=angle{BCF}-angle{BCE}=1/2angle{BCD}-1/2angle{BCA}=1/2angle{ACD}=1/2angle{ABD}=1/2angle{ABC}-1/2angle{DBC}=angle{EBC}-angle{FBC}=angle{EBF}
Ainsi le quadrilatère EFCB est inscriptible, de même on trouve que les quadrilatères AHEB et AHGD et DGFC sont inscirptibles.
Ainsi : angle{HEF}=360-angle{HEB}-angle{FEB}=angle{HAB}+angle{FCB}=1/2(angle{DAB}+angle{DCB})=1/2.180=90
et de même on trouve que les autres angles sont droits ainsi EFGH est un rectangle.