Solution:
on considère 2 cas
1/cas: a>=0
on étudie les signes de a+b et a-b en fixant a, on a alors :
si b=<-a
alors 1/2 ( la+bl + la-bl )=(-a-b)/2 + (a-b)/2=-b=|b|=<c
si -a=<b=<a
alors 1/2 ( la+bl + la-bl )=(a+b)/2 + (a-b)/2 = a=|a|=<c
si b>=a alors
alors 1/2 ( la+bl + la-bl )= (a+b)/2 + (b-a)/2 = b=|b|=<c
2/cas a=<0 implique -a>=0
encore une fois , on étudie les signe de a+b et a-b en fixant a, on a alors :
si b=<a
alors 1/2 ( la+bl + la-bl )=(-a-b)/2 + (a-b)/2=-b=|b|=<c
si a=<b=<-a
alors 1/2 ( la+bl + la-bl )=(-a-b)/2 + (b-a)/2 = -a=|a|=<c
si b>=-a
alors 1/2 ( la+bl + la-bl )=(a+b)/2 + (b-a)/2=b=|b|=<c
cela finit la démonstration.
ps: la démonstration est longue mais l'idée est simple , une petite disjonction de cas .