{Géométrie} U {Arithmétique} = {The perfect combination :) }

Soit ABC un triangle dont les longueurs des côtés sont des entiers naturels non-nuls. Et soit r le rayon de son cercle inscrit.

déterminer l'ensemble des valeurs de AB, AC et BC en sachant que r=1.

ENJOY

salut après les simplifications je trouve l’équation suivante : 9(a+b+c) = (a+b)(a+c)(b+c)
il suffit de résoudre cette équation pour déterminer les valeurs de AB , AC et BC .
si c'est vrai dit moi pour continue a cherche des solutions a elle .
P.S : j'ai utiliser la formule de Hérons et p.r = S (p et demi-per et S la surface du triangle) .
Amicalement .

Je peux pas juger, postes ta réponse complète et je verrai !

Actuellement, j'ai fait une erreur ! c'est plutôt r=1 - Sinon avec r=3 on auras beaucoup de cas -

OKi j'essaierai

.

boubou math a écrit:

Retour au plaisir .
Solution
Considérons p le demi périmètre du triangle ABC ,S ça surface.
On a ainsi S=p.r ---> 1/2 AB.AC.sin(BAC)=1/2(AB+AC+BC).r ----> AB.AC.sin(BAC)=AB+AC+BC.
D'une autre part AB, AC,BC sont des entier ainsi sin(BAC) est entier implique sin(BAC)=1 ou -1 ou 0 , les cas 0 , -1 sont a rejetés ainsi sin(BAC)=1 avec 0<BAC<180 donc BAC=90.
De même on prouve que ABC=90 or cela est impossible donc un tel triangle n'existe pas .

slt frero :
prend a = 3 et b = 4 et c = 5 il est évident qu'il est un solution .
P.S = il ya d'autres solutions le nombre dyalhom howa : 5 en générale

boubou math a écrit:

Retour au plaisir .
Solution
Considérons p le demi périmètre du triangle ABC ,S ça surface.
On a ainsi S=p.r ---> 1/2 AB.AC.sin(BAC)=1/2(AB+AC+BC).r ----> AB.AC.sin(BAC)=AB+AC+BC.
D'une autre part AB, AC,BC sont des entier ainsi sin(BAC) est entier implique sin(BAC)=1 ou -1 ou 0 , les cas 0 , -1 sont a rejetés ainsi sin(BAC)=1 avec 0<BAC<180 donc BAC=90.
De même on prouve que ABC=90 or cela est impossible donc un tel triangle n'existe pas .

c'est faux ce qui en rouge

Ma solution est complètement fausse

Pour boubou math, voici un contre exemple:

Tu as dit: AB.AC.sin(BAC)=AB+AC+BC.

Et puisque AB+AC+BC est un entier naturel donc AB.AC.sin(BAC) est aussi un entier naturel donc sin(BAC) est aussi un entier naturel.

La dernière équivalence est clairement fausse, car si on a par sin(BAC)=1/n et AC est multiple de n, la quantité AB.AC.sin(BAC) est un entier naturel, mais sin(BAC) n'est pas un entier naturel.

Une remarque, az360 a déjà résolu cet exo correctement d'après le MP qu'il m'a envoyé.

ali-mes a écrit:

Pour boubou math, voici un contre exemple:

Tu as dit: AB.AC.sin(BAC)=AB+AC+BC.

Et puisque AB+AC+BC est un entier naturel donc AB.AC.sin(BAC) est aussi un entier naturel donc sin(BAC) est aussi un entier naturel.

La dernière équivalence est clairement fausse, car si on a par sin(BAC)=1/n et AC est multiple de n, la quantité AB.AC.sin(BAC) est un entier naturel, mais sin(BAC) n'est pas un entier naturel.

Une remarque, az360 a déjà résolu cet exo correctement d'après le MP qu'il m'a envoyé.

ouais , je sais bien la faute que j'ai commis (une petite faute de précipitation) sinon je pense que l'exo se résume a résoudre l’équation
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=4(a+b+c) dans IN si mes calcul sont bonnes .

Petite faute de précipitation???
Monsieur, ta réponse est erronée de l'alpha à l'omega...

.

darkpseudo, r est le rayon du cercle inscrit !

pas vu dsl , mais n'empêche il y a une manière élégante .