Forme linéaire continue et noyau

Montrer qu'une forme linéaire est continue si, et seulement si, son noyau est fermé.

E un e.v.t sur K ( = R ou C) et f:E --> K une forme linéaire non nulle
==> f est surjective
==> il existe a dans E : f(a)=1. On pose H=Ker(f)

Il est clair que si f est continue ==> H est fermé

Si H est fermé ==> a+H est fermé ( par compatibilité de la topologie avec la structure)
0€E\(a+H) ==> il existe un voisinage ( équilibré) V de 0 : V c E\(a+H) .

On a alors qqs x€V, f(x)<1 car si f(x)>1, y=x/f(x)€ 1/f(x).V c V ==> f(y)#1 absurde
On a aussi qqs x€V, f(x)>-1 car -x€V et f(x)=-f(-x)>-1

Donc f est bornée dans V ==> f est continue